计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理： 2、分步计数原理： 特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点：如果完成一件事情共有 n 类办法，这 n 类办法彼此之间相互独立的， 无论哪 一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情， 求完成这件事情的方法种数， 就用分类计 数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类） 如果完成一件事情需要分成n 个步骤， 各个步骤都是不可缺少的， 需要依次完成所有的步骤， 才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数 就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型 1:计数原理 例 1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ; ③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法 有。 例 2（1）如图为一电路图，从A 到 B 共有条不同的线路可通电。 例 3: 把一个圆分成 3 块扇形，现在用5 种不同的颜色给 3 块扇形涂色，要求相邻扇形的颜 色互不相同，问有多少钟不同的涂法若分割成4 块扇形呢 例 4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6 个部分(如图).现要栽种 4 种不同颜色的花， 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以 数字作答) 例 5、 四面体的顶点和各棱的中点共 10 个，在其中取 4 个不共面的点，问共有多少种不 同的取法 例 6、 （1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优 秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定 一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果 （2）三边均为整数，且最大边长为11 的三角形的个数是 题型 2:排列、组合问题处理策略 一.元素个数较少的排列组合问题枚举法: 1、设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不 同的方法 2、学号为 1、2、3、4 的学生坐到编号为 1、2、3、4 的四张凳子上，要求学生的学号与其 所坐的凳子编号不同，问有多少种不同的坐法 二、特殊元素和特殊位置优先策略 3、.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 4、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 (） A．120 种 B．96 种 C．78 种 D．72 种 三、相邻捆绑、不相邻插空 5、 （1）7 人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法 （2）7 人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法 6、马路上有 8 只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能 同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种 7、某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 8、一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种 四、不尽相异元素、定序问题倍缩法 9、 （1）7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 （2）10 人身高各不相等,排成前后排，每排5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少 排法 （3）由 4 个 A 和 3 个 B 可以组成多少个 7 位字符信息 五、分排问题“直排法” 10、7 个人坐两排座位，第一排3 个人，第二排坐4 个人，则不同的坐法有多少种 11、8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法 六、重排问题方幂策略（住店、投邮、影射） 12、把 6 名实习生分配到7 个车间实习,共有多少种不同的分法 13、某 8 层大楼从一楼电梯上来 8 名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,则他们下电梯的方 法有多少种 七.构造模型的策略 14、10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一个有多少装法 15、 方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解 八、排列组合混合问题先选后排策略 16、有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 17、 一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人， 现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成 一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有________ 种 九、.正难则反总体淘汰策略 18、我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法 有多少种 十、无编号平均分组问题除法策略 19、6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法 20、10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种 不同的分组方法 21、某校高二年级共有六个班级， 现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且 每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为 十一化归策略 22、 25 人排成 5×5 方队,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法 有多少种 23、某城市的街区由 45 条街道组成，从西南 A 走到东北 B 的最短路径有多少种 三、练习题组： 1、7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法 2、把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 3.(1)在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有(） (A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6 个 (2)从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女 生,则选派方案共有( ) (A)108 种 (B)186 种 (C)216 种 (D)270 种 (3)在数字 1,2,3 与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列 个数是( ) B. 12 C. 18 D. 24 (4)高三(一)班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和1 个曲艺节目的演出 顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( ) (A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5