计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理 2、分步计数原理 特别注意两个原理的共同点把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点如果完成一件事情共有 n 类办法，这 n 类办法彼此之间相互独立的， 无论哪 一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情， 求完成这件事情的方法种数， 就用分类计 数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类） 如果完成一件事情需要分成n 个步骤， 各个步骤都是不可缺少的， 需要依次完成所有的步骤， 才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数 就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 1排列定义,排列数 2排列数公式 3全排列列 4.组合 1组合的定义,排列与组合的区别; 2组合数公式 3组合数的性质 二、.典例解析 题型 1计数原理 例 1.完成下列选择题与填空题 1有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 2四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是 3有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ; ③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法 有。 例 2（1）如图为一电路图，从A 到 B 共有条不同的线路可通电。 例 3 把一个圆分成 3 块扇形，现在用5 种不同的颜色给 3 块扇形涂色，要求相邻扇形的颜 色互不相同，问有多少钟不同的涂法若分割成4 块扇形呢 例 4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6 个部分如图.现要栽种 4 种不同颜色的花， 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.以 数字作答 例 5、 四面体的顶点和各棱的中点共 10 个，在其中取 4 个不共面的点，问共有多少种不 同的取法 例 6、 （1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优 秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定 一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果 （2）三边均为整数，且最大边长为11 的三角形的个数是 题型 2排列、组合问题处理策略 一.元素个数较少的排列组合问题枚举法 1、设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不 同的方法 2、学号为 1、2、3、4 的学生坐到编号为 1、2、3、4 的四张凳子上，要求学生的学号与其 所坐的凳子编号不同，问有多少种不同的坐法 二、特殊元素和特殊位置优先策略 3、.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 4、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ） A．120 种 B．96 种 C．78 种 D．72 种 三、相邻捆绑、不相邻插空 5、 （1）7 人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法 （2）7 人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法 6、马路上有 8 只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能 同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种 7、某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 8、一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种 四、不尽相异元素、定序问题倍缩法 9、 （1）7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 （2）10 人身高各不相等,排成前后排，每排5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少 排法 （3）由 4 个 A 和 3 个 B 可以组成多少个 7 位字符信息 五、分排问题“直排法” 10、7 个人坐两排座位，第一排3 个人，第二排坐4 个人，则不同的坐法有多少种 11、8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法 六、重排问题方幂策略（住店、投邮、影射） 12、把 6 名实习生分配到7 个车间实习,共有多少种不同的分法 13、某 8 层大楼从一楼电梯上来 8 名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,则他们下电梯的方 法有多少种 七.构造模型的策略 14、10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一个有多少装法 15、 方程 abcd12 有多少组正整数解 八、排列组合混合问题先选后排策略 16、有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 17、 一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人， 现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成 一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有________ 种 九、.正难则反总体淘汰策略 18、我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法 有多少种 十、无编号平均分组问题除法策略 19、6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法 20、10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种 不同的分组方法 21、某校高二年级共有六个班级， 现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且 每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为 十一化归策略 22、 25 人排成 55 方队,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法 有多少种 23、某城市的街区由 45 条街道组成，从西南 A 走到东北 B 的最短路径有多少种 三、练习题组 1、7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法 2、把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 3.1在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有） A36 个 B24 个 C18 个 D6 个 2从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女 生,则选派方案共有 A108 种 B186 种 C216 种 D270 种 3在数字 1,2,3 与符号,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列 个数是 B. 12 C. 18 D. 24 4高三一班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和1 个曲艺节目的演出 顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 A1800 B3600 C4320 D5