专题36 切线的条数-妙解高考数学填选压轴题

专题36 切线的条数 【方法点拨】 1.按照过一点求切线方程的一般步骤，设切点、求斜率得切线方程、点代入，将切线的条数问题转化为方程解的个数问题；是否存在切线转化为方程有无解的问题. 2.有时也可考虑相切为“临界状态”，利用参数的几何意义确定参数的取值范围. 【典型题示例】 例1 （2022·全国新高考Ⅰ卷·15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】易知曲线不过原点，故 设切点为，则切线的斜率为 所以切线方程为 又因为切线过原点，所以 即 又因为切线有两条，故上方程有两不等实根 所以，解得，或 所以的取值范围是． 例2 (2022·江苏南京一中学情调研模拟检测·8)若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由于中要求，故考虑当时的公切线所对应的实数的值为临界值，当增大时，抛物线沿直线上移，公切线与相切的切点左移，横坐标减小，故所求大于此时的临界值. 【解析】先求当时，曲线的切线方程 ∵， ∴曲线的切线在处的切线方程为，即 再求当曲线与直线相切时（即直线为公切线）的值 设曲线与直线相切时切点为 则由导数的几何意义得，解得，切点为 将代入得 ∵当增大时，抛物线沿直线上移，公切线与相切的切点左移，横坐标减小，即切点的横坐标小于0 ∴故所求大于此时的值，即. 例3 （2022·全国甲卷·文20改编）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线,则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析一】由于中的几何意义为截距，故只需求出、相切时的值，将图象往上平移，即增大，即为所求. 【分析二】设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围. 【解析一】设公切点为 则，解之得或（不符合题意，舍去） 故的取值范围为. 【解析二】，则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 例4 （2022·江苏南通期末·16）已知函数，若a∈R时，直线与曲线相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为_________． 【答案】 【分析】利用过点的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答. 【解析】由求导得：， 设直线与曲线相切的切点为， 于是得，且，则， 显然函数在R上单调递增，因直线与曲线相切的k的值有且只有3个， 则有直线与曲线相切的切点横坐标t值有且只有3个，即方程有3个不等实根， 令，求导得：，当或时，，当时，， 即函数在，上递增，在上递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值， 方程有3个不等实根，当且仅当函数有3个不同的零点，因此，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为. 例5 若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为 A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本道题结合存在公共切线，建立切线方程，结合待定系数法，建立等式，构造新函数，将切线问题转化为交点问题，计算a的范围，即可． 【解析】设函数的切点为,该切线斜率, 所以切线方程为, 的切点为,所以切线方程为, 由于该两切线方程为同一方程，利用待定系数法，可得 ,解得 得到新方程为, 构造函数解得,表示与存在着共同的交点,而过定点,得到过的切线方程,设切点为,则,该切点在该直线上,代入,得到,解得, 所以直线斜率为,要使得与存在着交点, 则,结合,所以a的取值范围为，故选A． 例6 (2021·全国Ⅰ卷)若过点可以作曲线的两条切线，则( ) A．B．C．D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用导数的几何意义将问题转化成函数的交点问题，然后通过构造新函数，并求出新函数的单调区间以及最值，利用数形结合的方法即可求解. 【解析】设切点，，因为，即， 则切线方程为， 由得， 则由题意知，关于的方程有两个不同的解． 设，则， 由得， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以的最大值为， 当时，，所以， 当时，；当时，， 故的图像如下图所示： 故． 故选:D． 【巩固训练】 1.过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数的取值范围是______． 2.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ） A．B．C．D． 3.若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（ ） A．B．C．D． 4.若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是（ ） A．B．C．D． 5.已知函数，，若曲线与有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 6.若曲线与曲线存在公共切线，则实数 a 的取值范围为 ． 7.已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是 ． 8.已知函数，若过点只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 【答案或提示】 1.【答案】 【分析】设切点为，利用导数几何意义求得切线方程为，由题意知在上有两个不同解，构造且，利用导数研究单调性及值域，进而确定的范围. 【解析】由，若切点为，则， ∴切线方程为，又在切线上， ∴，即在上有两个不同解， 令，即原问题转化为与有两个交点，而， （1）当时，，递增，且， （2）当时，，递增；当时，，递减； ∴，又，时且， ∴要使在上有两个不同解，即. 故答案为： 点评： 作为填空题，本着“小题小做”的策略，只需先求出点在曲线上时的值为，此时，过点曲线的切线洽有一条，从形上看，当增大时，切线就有两条，故答案为. 2.【答案】A 【解析】设公切线与函数切于点，则切线方程为；设公切线与函数切于点，则切线方程为， 所以有 ∵，∴． 又，令，∴． 设，则，∴在(0，2)上为减函数，则，∴，故选A． 3.【答案】C 【解析】存在实数，使不等式对一切正数都成立，要求的最大值，临界条件即为直线恰为函数的公切线. 设的切点为，. 设的切点为，, 所以. 由题得. 设， 所以， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 又， 当时，， 所以方程另外一个零点一定大于. 所以方程小的零点为， 所以. 故选：C. 4.【答案】A 【解析】设切点为， ∵，∴， ∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为， 代入点P的坐标，化简得， ∵过点可以作三条直线与曲线相切， ∴方程有三个不等实根. 令，求导得到， 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，