专题31 对数单身狗 指数找朋友-妙解高考数学填选压轴题

专题31 对数单身狗 指数找朋友 【方法点拨】 对数单身狗（提公因式，让落单），指数找朋友（等价转化，让在分母上）： ①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”. 由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单. ②在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找朋友”. 由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算. 【典型题示例】 例1 已知函数，当x≥0时，f（x）≥x3+1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】遇到 f(x)ex＋g(x)的形式变形为ex·h(x) ，其求导后的结果是[ex·h(x)]′＝ex·[h(x)＋h′(x)] ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题. 【解析】等价于. 设函数，则 . （i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意. （ii）若01时，令f x=0，则x=a ， f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，f(x)min=fa=lna−a+11时，即m>32时，对x∈(1,2m−2)， f x<0，f(x)在(1,2m−2)上单调递减，所以f2m−2