专题31 对数单身狗 指数找朋友-妙解高考数学填选压轴题

专题31 对数单身狗 指数找朋友 【方法点拨】 对数单身狗（提公因式，让落单），指数找朋友（等价转化，让在分母上） ①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”. 由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单. ②在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找朋友”. 由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算. 【典型题示例】 例1 已知函数，当x≥0时，f（x）≥x31，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】遇到 fxex＋gx的形式变形为exhx ，其求导后的结果是[exhx]′＝ex[hx＋h′x] ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题. 【解析】等价于. 设函数，则 . （i）若2a1≤0，即，则当x∈（0，2）时，0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）1，故当x∈（0，2）时，g（x）1，不合题意. （ii）若02a12，即，则当x∈0，2a1∪2，∞时，gx0；当x∈2a1，2时，gx0.所以gx在0，2a1，2，∞单调递减，在2a1，2单调递增.由于g01，所以gx≤1当且仅当g27−4ae−2≤1，即a≥. 所以当时，gx≤1. （iii）若2a1≥2，即，则gx≤. 由于，故由（ii）可得≤1. 故当时，gx≤1. 综上，a的取值范围是. 点评 解决形如fxex＋gx常见结论ex≥x＋1（有时甚至ex≥12x2x＋1），从形的角度看，它揭示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法，从而顺利突破难点． 例2 若不等式xlnx≥ax−1对所有x≥1都成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】−∞,1] 【解析】原问题等价于lnx−ax−1x≥0对所有x≥1都成立， 令fxlnx−ax−1x， x≥1，则fxx−ax2． （1）当a≤1时，fxx−ax2≥0恒成立，即fx在[1,∞上单调递增，因而fx≥f10恒成立； （2）当a1时，令fx0，则xa ， fx在0,a上单调递减，在a,∞上单调递增，fxminfalna−a10，不合题意． 综上所述，实数a的取值范围是−∞,1]． 点评 上述解法优势在于，将lnx的系数化“1”后，就可以有效避免求导后再出现对数函数，避免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在． 【巩固训练】 1.已知ex≥1＋ax对任意x∈[0,＋∞成立，则实数a的取值范围是________． 2.已知函数fx＝ex－1－x－ax2，当x≥0时,fx≥0恒成立，则实数a的取值范围为________． 3.已知对任意的，则实数的取值范围是 . 4. 已知关于的方程在上有且只有一个实数根，则实数的取值范围是 . 5. 已知的零点不少于两个，则实数的取值范围是 . 6. 已知有两个零点，则实数的取值范围是 . 7. 已知当x≥1时，x2lnx−x1≥mx−12恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案与提示】 1.【答案】 －∞,1] 【解析】根据常用不等式ex≥x＋1,且y＝x＋1与y＝ex相切于0,1,又y＝ax＋1也过点0,1,观察图象可知,要使ex≥1＋ax对任意x∈[0,＋∞成立,则a≤1,即实数a的取值范围为－∞,1]. 2.【答案】 【解析一】 由f′x＝ex－1－2ax,又ex≥x＋1,所以f′x＝ex－1－2ax≥x－2ax＝1－2ax, 所以当1－2a≥0,即a≤时,f′x≥0x≥0,而f0＝0,于是当x≥0时,fx≥0,满足题意；又x≠0时,ex＞x＋1,所以可得e－x＞1－x,从而当a＞时,f′x＝ex－1－2ax≤ex－－x＋2ae－x－1＝1－e－xex－2a,故当x∈0,ln2a时,f′x＜0,而f0＝0,于是当x∈0,ln2a时,fx＜0,不合题意． 综上所述,实数a的取值范围为. 【解析二】因为ex≥x＋1,所以当a≤0时,ex≥ax2＋x＋1恒成立,故只需讨论a＞0的情形．令Fx＝e－x1＋x＋ax2－1,问题等价于Fx≤0,由F′x＝e－x[－ax2＋2a－1x]＝0得x1＝0,x2＝. ② 当0＜a≤时,Fx在[0,＋∞上单调递减,所以Fx≤F0＝0恒成立； ②当a＞时,因为Fx在[0,x2]上单调递增,所以Fx2≥F0＝0恒成立,此时Fx≤0不恒成立．综上所述,实数a的取值范围是. 3.【答案】 【提示】 设，则 分类讨论，将导函数的零点、定义域的端点比较，分、、、四种情况. 4.【答案】 5.【答案】 【提示】 6.【答案】 【提示】 7.【答案】−∞,32] 【解析】原不等式等价于lnx−mx−12x−1x2≥0， 令fxlnx−mx−12x−1x2，x≥1，则fxx−1[x−2m−2]x3， 令fx0，得x11，x22m−2． （1）当2m−2≤1时，即m≤32时，对 x≥1，fx≥0，fx在[1,∞上单调递增，所以fx≥f10，满足题意； （2）当2m−21时，即m32时，对x∈1,2m−2， fx0，fx在1,2m−2上单调递减，所以f2m−2f10，不合题意； 综上所述，实数m的取值范围是−∞,32]．