最新重点小学奥数公因数和公倍数

第三讲：公因数和公倍数 知识点拨知识点拨 一、公约数的概念与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 0 被 排除在约数与倍数之外。 例如：12 的约数有：1,2,3,4,6,12 18 的约数有：1,2,3,6,9,18 12 和 18 的公约数有：1,2,3,6，其中 6 是 12 和 18 的最大公约数，记作（12，18）=6 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711，252  22327，所以(231,252) 37  21； 21812 ②短除法：②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以(12,18) 23 6； 32 ③辗转相除法：③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转 相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余 数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数 去除前一个余数， 直到余数是 0 为止． 那么， 最后一个除数就是所求的最大公约数． (如果最后的除数是1， 那么原来的两个数是互质的)． 例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515600 2315；6003151285；315285130； 28530  915；3015 20；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n． 二、公倍数的概念与最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如：12 的倍数有：12,24,36,48,60,72,84. 18 的倍数有：18,36,54,72,90. 12 和 18 的公倍数有：36,72.，其中 36 是 12 和 18 的最小公倍数，记作[12，18]=36 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如：2313711，252  22327，所以231,252 2232711 2772； ②短除法求最小公倍数； 21812 例如：396，所以18,12 2332  36； 32 ③[a,b] ab ． (a,b) 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1．． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果m为A、B的最大公约数， 且A ma，B  mb， 那么a、b互质， 所以A、B的最小公倍数为mab， 所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ①AB  mamb  mmab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是A、B、A B、A B及最小公倍数的约数． 2．． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即(a,b)[a,b] ab，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3．． 对于任意对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a) )奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：567  210，210 就是 567 的最小公倍数 b) )偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍倍 例如：678336，而 6,7,8 的最小公倍数为3362 168 性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系， 即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大” 。 例题精讲例题精讲 【例【例 1 1】】两根电线分别长 24m 和 16m， 现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余， 剪成的小段最长可以 是多少米？ 【巩固】求 12 和 18 的最大公因数。 【例【例 2 2】】找出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗？4 和 206 和 367 和 86 和 19 【巩固】【巩固】说出下面各组数的最大公因数。 4 和 1615 和 22 【例【例 3 3】】用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？ 【巩固】【巩固】一个数用 3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？ 【例【例 4 4】】有三根铁丝，长度分别是120 厘米、180 厘米和 300 厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都 不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 【巩固】【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3 个零件，第二道工序 每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至 少各分配几个工人？ 【巩固】【巩固】有三根钢管，它们的长度分别为 240cm，200cm，480cm，如果把它们截成同样长的小段，且不 许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？ 【例【例 5 5】】一张长方形的纸，长7 分米 5 厘米、宽6 分米。现在要把它裁成一块正方形，而且正方形边长为 整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？ 【巩固】【巩固】把 1 米 3 分米 5 厘米长、1 米 5 厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形而无剩余，至少能裁 几块？ 【例【例 6 6】】用一张长 1072 毫米、宽 469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这 些正方形的边长最长是多少？（辗转相除法） 【巩固】【巩固】用辗转相除法判断 1547 和 3135 是否互质。 【例【例 7 7】】用辗转相除法求 4811和 1981 的最大公约数。 【巩固】【巩固】求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多少？ 【例【例 8 8】】求 21672 和 11352的最小公倍数。 【例【例 9 9】】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为 120，求这两个数． 【巩固】【巩固】两个数的最大公约数是15，最小公倍数是 90，求这两个数分别是多少？ 【巩固】【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？ 【例【例 10 10】】两个自然数的积是 360，最小公倍数是 120，这两个数各是多少？ 【巩固】【巩固】已知两数的最小公倍数是210，它们的积是 1260，它