最新重点小学奥数公因数和公倍数

第三讲公因数和公倍数 知识点拨知识点拨 一、公约数的概念与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 0 被 排除在约数与倍数之外。 例如12 的约数有1,2,3,4,6,12 18 的约数有1,2,3,6,9,18 12 和 18 的公约数有1,2,3,6，其中 6 是 12 和 18 的最大公约数，记作（12，18）6 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法①分解质因数法先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如2313711，252  22327，所以231,252 37  21； 21812 ②短除法②短除法先找出所有共有的约数，然后相乘．例如396，所以12,18 23 6； 32 ③辗转相除法③辗转相除法每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转 相除法求两个数的最大公约数的步骤如下先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余 数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数 去除前一个余数， 直到余数是 0 为止． 那么， 最后一个除数就是所求的最大公约数． 如果最后的除数是1， 那么原来的两个数是互质的． 例如，求 600 和 1515 的最大公约数1515600 2315；6003151285；315285130； 28530  915；3015 20；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n． 二、公倍数的概念与最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如12 的倍数有12,24,36,48,60,72,84. 18 的倍数有18,36,54,72,90. 12 和 18 的公倍数有36,72.，其中 36 是 12 和 18 的最小公倍数，记作[12，18]36 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如2313711，252  22327，所以231,252 2232711 2772； ②短除法求最小公倍数； 21812 例如396，所以18,12 2332  36； 32 ③[a,b] ab ． a,b 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1．． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果m为A、B的最大公约数， 且A ma，B  mb， 那么a、b互质， 所以A、B的最小公倍数为mab， 所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系 ①AB  mamb  mmab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是A、B、A B、A B及最小公倍数的约数． 2．． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即a,b[a,b] ab，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3．． 对于任意对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a 奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如567  210，210 就是 567 的最小公倍数 b 偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍倍 例如678336，而 6,7,8 的最小公倍数为3362 168 性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系， 即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大” 。 例题精讲例题精讲 【例【例 1 1】】两根电线分别长 24m 和 16m， 现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余， 剪成的小段最长可以 是多少米 【巩固】求 12 和 18 的最大公因数。 【例【例 2 2】】找出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗4 和 206 和 367 和 86 和 19 【巩固】【巩固】说出下面各组数的最大公因数。 4 和 1615 和 22 【例【例 3 3】】用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少 【巩固】【巩固】一个数用 3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少 【例【例 4 4】】有三根铁丝，长度分别是120 厘米、180 厘米和 300 厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都 不能有剩余，每小段最长多少厘米一共可以截成多少段 【巩固】【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3 个零件，第二道工序 每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至 少各分配几个工人 【巩固】【巩固】有三根钢管，它们的长度分别为 240cm，200cm，480cm，如果把它们截成同样长的小段，且不 许有剩余，每小段最长可以是多少厘米 【例【例 5 5】】一张长方形的纸，长7 分米 5 厘米、宽6 分米。现在要把它裁成一块正方形，而且正方形边长为 整厘米数，有几种裁法如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块 【巩固】【巩固】把 1 米 3 分米 5 厘米长、1 米 5 厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形而无剩余，至少能裁 几块 【例【例 6 6】】用一张长 1072 毫米、宽 469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这 些正方形的边长最长是多少（辗转相除法） 【巩固】【巩固】用辗转相除法判断 1547 和 3135 是否互质。 【例【例 7 7】】用辗转相除法求 4811和 1981 的最大公约数。 【巩固】【巩固】求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多少 【例【例 8 8】】求 21672 和 11352的最小公倍数。 【例【例 9 9】】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为 120，求这两个数． 【巩固】【巩固】两个数的最大公约数是15，最小公倍数是 90，求这两个数分别是多少 【巩固】【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少 【例【例 10 10】】两个自然数的积是 360，最小公倍数是 120，这两个数各是多少 【巩固】【巩固】已知两数的最小公倍数是210，它们的积是 1260，它