直线的倾斜角与斜率经典例题(学生版

精品文档 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 讲义讲义 一引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ．．． 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度 , 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用 倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. Y Y a a O O b b X X c c 如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们 的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α. ．．． P ．．．．．．．． (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点： (1) 当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与 x 轴垂直； 。1欢迎下载 精品文档 (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不 能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． (四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角 还是锐角.(用计算机作直线, 图略) . 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l. 二、题型归纳：二、题型归纳： 【训练 1】已知直线的倾斜角，求直线的斜率： （1）   30 （2）   45 （3）   【训练 2】根据斜率求倾斜角： （1）当k 1, ____,(2) k   3, _____ 【训练 3】已知直线l l的倾斜角是直线l l1 1的 2 倍，且tan tan  1 1   3 3，求直线l l的斜率。 【训练 4】 （1）若直线l的倾斜角取值范围为[ 5 2  （4）  （5）  135  63 2 3 , 3 ],则斜率的取值范围是______ ______； （2）若直线l的斜率的取值范围是[1, 3]，则其倾斜角的取值范围是__ _ ___。 【训练 5】已知直线l l过A A( (1 1, ,2 2), ),B B( (m m, ,3 3) )两点，求直线l l的斜率和倾斜角。 。2欢迎下载 精品文档 【训练 6】设点P P( (  3 3, ,1 1) ),点Q Q在 y 轴上，若直线PQPQ的倾斜角为120 120 ，求点Q Q的坐标。 【训练 7】若三点A A( (0 0, ,8 8) )B B( ( 4 4, ,0 0) )C C( (m m, , 4 4) )共线，求实数 m 的值。 【训练 8】已知点Ａ（－２，３） ，Ｂ（３，２） ，过 P(0，－２)的直线与线段ＡＢ总有公共点，求直线 l 的斜率的范围。 【变式】已知A（-1，3） ，B（2，2） ，直线 l： （2m+1）x+(m-1)y-3m=0 与线段 AB 总有公共点，求m 取值范 围 y l 3 l 2 三、强化训练：三、强化训练： x 1、若图中的直线l 1,l2 ,l 3 的斜率分别为k1,k2,k3，则 l  k 1,k2 ,k 3 的大小关系是___________。 2、已知直线的斜率的绝对值为 3，则直线的倾斜角为 。 3、已知直线l l的倾斜角为 ，且cos   1 12 ，则此直线的斜率为。 13 4、若过点P P( (1 1  a a, ,1 1  a a), ),Q Q( (3 3, ,2 2a a) )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是。 5、已知直线l l的倾斜角为 ，且0     135 ，则直线l l斜率的取值范围是（） A.[0,) B.(,) C.[ 1,) D.(, 1] [0,) 6、若直线 AB 的斜率为 2，将直线绕点 A 按逆时针方向旋转45 后，所得直线的斜率是 （） 11 C.3 D. 33 2 7、直线l l的斜率为k k  1  m m（m m  R R） ，则直线l l的倾斜角的取值范围是 （）   3    , ) C.[0,]  (, ) D.[0, ) A. [0,] B.[0,] [ 44442 8、已知两点M M( ( 1 1, ,2 2), ), N N( (3 3, ,2 2) )，若直线PMPM和和PNPN的斜率分别为2 2, , 2 2，求P P的坐标。 A. 3 B.  类型一：倾斜角与斜率的关系类型一：倾斜角与斜率的关系 。3欢迎下载 精品文档 1．已知直线 的倾斜角的变化范围为 【变式】直线 ，求该直线斜率的变化范围； 的倾斜角的范围是( ) A． B． C．D． 类型二：斜率定义类型二：斜率定义 2．已知△ABC 为正三角形，顶点 A 在 x 轴上，A 在边 BC 的右侧，∠BAC 的平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率. 【变式 1】如图，直线 A． B． C． D． 的斜率分别为，则( ) 类型三：斜率公式的应用类型三：斜率公式的应用 3．求经过点， 。4欢迎下载 直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角． 精品文档 【变式 1】过两点 【变式 2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是 12． ，的直线 的倾斜