答案 二次函数-矩形的存在性问题
参考答案 1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点 O 顺 2 时针旋转 90°得到的，点 D 在 x 轴上，直线 BD 交 y 轴于点 F，交 OE 于点 H，线段 BC、OC 的长是方程 x ﹣6x+8=0 的两个根，且 OC＞BC． （1）求直线 BD 的解析式； （2）求△OFH 的面积； （3）点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在， 请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 1.分析： （1）解方程可求得 OC、BC 的长，可求得 B、D 的坐标， 利用待定系数法可求得直线 BD 的解析式； （2）可求得 E 点坐标，求出直线 OE 的解析式，联立直线 BD、OE 解析式可求得 H 点的横坐标，可求得△OFH 的 面积； （3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点 N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况， 分别求得 M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得 N 点坐标． 解答： 解： （1）解方程 x ﹣6x+8=0 可得 x=2 或 x=4，∵BC、OC 的长是方程 x ﹣6x+8=0 的两个根，且 OC＞BC， ∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4） ，∵△ODE 是△OCB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到的， ∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0） ，设直线 BD 解析式为 y=kx+b， 把 B、D 坐标代入可得，解得，∴直线 BD 的解析式为 y=﹣x+； （2）由（1）可知 E（4，2） ，设直线 OE 解析式为 y=mx， 把 E 点坐标代入可求得 m=， ∴直线 OE 解析式为 y=x，令﹣x+=x， 解得 x=，∴H 点到 y 轴的距离为， 又由（1）可得 F（0， ） ，∴OF=，∴S △OFH=××=； （3）∵以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM 为直角三角形， ①当∠MFD=90°时，则 M 只能在 x 轴上，连接 FN 交 MD 于点 G，如图 1， 由（2）可知 OF=，OD=4，则有△MOF∽△FOD， ∴=，即=，解得 OM=，∴M（﹣，0） ，且 D（4，0） ，∴G（，0） ， 设 N 点坐标为（x，y） ，则=，=0，解得 x=，y=﹣，此时 N 点坐标为（，﹣） ； ②当∠MDF=90°时，则 M 只能在 y 轴上，连接 DN 交 MF 于点 G，如图 2， 则有△FOD∽△DOM， ∴=，即=，解得 OM=6， ∴M（0，﹣6） ，且 F（0， ） ， ∴MG=MF=，则 OG=OM﹣MG=6﹣=， ∴G（0，﹣） ， 设 N 点坐标为（x，y） ，则=0，=﹣， 解得 x=﹣4，y=﹣，此时 N（﹣4，﹣） ； ③当∠FMD=90°时，则可知 M 点为 O 点，如图 3， ∵四边形 MFND 为矩形， ∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得 N（4， ） ； 综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4， ） ． 22 2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线y x 2x3与 x 轴交与A，B两点（点A在点B的左侧） ，与 2 y轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E. （1）求直线AD的解析式； （2）如图 1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于 点H，求△FGH的周长的最大值； （3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形 是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标. 答案解：⑴AD：y x 1 ⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM 故C △FGH C △FGM 设F(m,m2 2m 3) 则FM=m2 2m 3(m1) m2 m 2 199 2 (12)FM (12)(m )2 242 9+9 2 故最大周长为 4 ⑶①若AP为对角线 911 如图，由△PMS∽△MAR可得P(0, )由点的平移可知Q(2，)故 Q 点关于直线 AM 的对称点 T 为(0, ) 222 ②若AQ为对角线 791 如图，同理可知P(0, )由点的平移可知Q(2, )故Q点关于直线AM的对称点T为(0, ) 222 3. (2016 山东省东营市) 】 ． 】 ．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别是 则C=FM 2 FM （0，4） 、 （﹣1，0） ，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形A′B′OC′． （1）若抛物线经过点 C、A、A′，求此抛物线的解析式； （2）点 M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时， △AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标； （3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点 Q 坐标为 （1，0） ，当 P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点P 的坐标， 当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标． 分析（1）由平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°， 得到平行四边形 A′B′OC′，且点 A 的坐标是（0，4） ， 可求得点 A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经 过点 C、A、A′的抛物线的解析式； （2）首先连接 AA′，设直线 AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线 AA′的解析式，再设点 M 的坐标为： （x，﹣x +3x+4） ，继而可得△AMA′的面积，继而求得答案； （3）分别从 BQ 为边与 BQ 为对角线去分析求解即可求得答案． 解答解： （1）∵平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′OC′，且点 A 的坐标是（0， 4） ， ∴点 A′的坐标为： （4，0） ， ∵点 A、C 的坐标分别是（0，4） 、 （﹣1，0） ，抛物线经过点 C、A、A′， 设抛物线的解析式为：y=ax +bx+c， ∴，解得： ，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x +3x+4； （2）连接 AA′，设直线 AA′的解析式为：y=kx+b， ∴，解得： ，∴直线 AA′的解析式为：y=﹣x+4， 2 2 2 设点 M 的坐标为： （x，﹣x +3x+4） ， 则 S△AMA′=×4×[﹣x +3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x +8x=﹣2（x﹣2） +8， ∴当 x=2 时，△AMA′的面积最大，最大值 S△AMA′=8， ∴M 的坐标为： （2，6） ； （3）设点 P 的坐标为（x，﹣x +3x+4） ，当 P，N，B，Q 构成平行四边形时， ∵平行四边形 ABOC 中，点 A、C 的坐标分别是（0，4） 、 （﹣1，0） ， ∴点 B 的坐标为（1，4） ， ∵点 Q 坐标为（1，0） ，P 为抛物线上一动点，N 为 x
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