第三章粘弹性流体的本构方程

高分子材料流变学第三章 第三章第三章 非线性粘弹流体的本构方程非线性粘弹流体的本构方程 1 1．．本构方程概念本构方程概念 本构方程（本构方程（constitutive equationconstitutive equation）） ，又称状态方程——描述一大类，又称状态方程——描述一大类 材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。 不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学 来讲，来讲， 寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑 为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。 寻求流变本构方程的基本方法大致可分为唯象性方法和分子论方法寻求流变本构方程的基本方法大致可分为唯象性方法和分子论方法 两种。两种。 唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象 性地推广流体力学、性地推广流体力学、 弹性力学、弹性力学、 高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程 的研究结果，的研究结果， 直接给出描写非线性粘弹流体应力、直接给出描写非线性粘弹流体应力、 应变、应变、 应变率间的关系。应变率间的关系。 以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。 分子论方法，分子论方法， 重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型， 研究微观结构对材料流动性的影响。研究微观结构对材料流动性的影响。 采用热力学和统计力学方法，采用热力学和统计力学方法， 将宏观将宏观 流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联 系起来。为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。系起来。为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。 根据研究对象不同，根据研究对象不同， 高分子流变本构方程又分为稀溶液理论及浓厚体高分子流变本构方程又分为稀溶液理论及浓厚体 系理论，两部分的理论和实验研究工作都取得巨大的进展。有趣的是唯系理论，两部分的理论和实验研究工作都取得巨大的进展。有趣的是唯 象性方法和分子论方法虽然出发点不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同， 逻辑推理的思路不尽相同，逻辑推理的思路不尽相同， 而最而最 终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。 62 高分子材料流变学第三章 目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。 同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣 的最重要标志。的最重要标志。 从形式上分，从形式上分， 非线性粘弹流体的本构方程主要分为两大类：非线性粘弹流体的本构方程主要分为两大类： 速率型速率型 （亦（亦 称微商型）本构方程和积分型本构方程。称微商型）本构方程和积分型本构方程。 速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商， 或同时包含这两个微商。或同时包含这两个微商。 积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分， 或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹 性。积分又分为单重积分或多重积分。性。积分又分为单重积分或多重积分。 判断一个本构方程的优劣主要考察：判断一个本构方程的优劣主要考察： 1 1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。 2 2））一个好的理论，一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今还应能预言至今 未知，但可能发生的事实。未知，但可能发生的事实。 3 3）） 有承前启后的功能。有承前启后的功能。 例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构 方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。 4 4）最后也是最重要的一条，即实验事实（实验数据）是判断一个本构）最后也是最重要的一条，即实验事实（实验数据）是判断一个本构 方程优劣的出发点和归宿。实践是检验真理的唯一标准。方程优劣的出发点和归宿。实践是检验真理的唯一标准。 本章重点介绍用唯象论方法对一般非线性粘弹流体建立的本构方程。本章重点介绍用唯象论方法对一般非线性粘弹流体建立的本构方程。 分子论方法在第四章介绍。分子论方法在第四章介绍。 63 高分子材料流变学第三章 2 2．．速率型本构方程速率型本构方程 2 2．．1 1经典的线性粘弹性模型——经典的线性粘弹性模型——MaxwellMaxwell 模型模型 已知高分子本体的线性粘弹行为可以用一些力学模型，如已知高分子本体的线性粘弹行为可以用一些力学模型，如MaxwellMaxwell 模模 型、型、VoigtVoigt模型及它们的恰当组合进行描述。其中模型及它们的恰当组合进行描述。其中MaxwellMaxwell 模型由一个虎模型由一个虎 克型弹簧和一个牛顿型粘壶串联而成（图克型弹簧和一个牛顿型粘壶串联而成（图 3-13-1）） 。由于形变时粘壶不受弹。由于形变时粘壶不受弹 簧约束，可产生大形变。原则上簧约束，可产生大形变。原则上 MaxwellMaxwell 模型可用于描述液体流动的性模型可用于描述液体流动的性 质。质。 图图 3-13-1MaxwellMaxwell 模型模型 设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形变。设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形变。 对弹簧有对弹簧有 1 G 1 对粘壶有对粘壶有 2 0 2 因为串联，总应力因为串联，总应力 1 2  总应变总应变  1  2  11  G0 0 所以有所以有  1 （（3-13-1）） 式中式中  1 0/G称松弛时间称松弛时间 ，单位为秒；，单位为秒；（（3-23-2））   为应力σ对时间的一般偏微商。为应力σ对时间的一般偏微商。 （（3-33-3）） t 将（将（3-13-1）式推广写成三维形式，以张量表示，则有）式推广写成三维形式，以张量表示，则有 σσ 1 σσ 20d d （（3-43-4）） 64