千锤百炼-高考数学100个热点问题——第48炼多变量表达式范围数形结合

第 48 炼 多变量表达式的范围——数形结合 一、基础知识： 1、数形结合的适用范围： （1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组 （2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等） 2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决 3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与 所求为双变量的一次表达式 4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条 件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。 二、典型例题 例 1：三次函数f x x bx cx db,c,d R在区间1,2上是减函数，那么b  c 32 的取值范围是（） A. ,   15  B. 2 15  ,  C. 2  15  D.,   2  15  ,   2  思 路 ： 先 由 减 函 数 的 条 件 得 到 b,c 的 关 系 ， f x 3x22bx c，所以x1,2时，f x 0恒成立，   f 1 0 2b  c 3 0  通过二次函数图像可知： ， 由关 4b  c 12  0  f 2 0 于b,c的不等式组可想到利用线性规划求得b  c的取值范围，通 过作图可得b  c   答案：D 例 2： 设f x是定义在R 上的增函数， 且对于任意的x都有f 1 x f1 x 0 恒成立， 22 f m 6m  23 fn 8n 0 22 如果实数m,n满足不等式组，那么m  n的取值范围  m  3 15 2 是（） A. 3,7 B. 9,25 C. 13,49 D. 9,49 - 1 - 22 思路：首先考虑变形f m  6m  23  f n 8n  0，若想得到m,n的关系，那么需要  利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由 f1 x f1 x 0可 得：f 1 x  f1 x，所以 fx关于1,0中心对称，即 fx f2 x，所以： f m2  6m  23 f n2 8n 0  f m2  6m  23  f n2 8n f 2  n2 8n 22 ，利用f x单调递增可得： m  6m  23 2  n 8n m  3n  4 4，所以 22 22 m 3n  4 4 22 ①，所求m  n可 m,n满足的条件为  m  3 视为点m,n到原点距离的平方，考虑数形结合。将①作出可行 域，为以C3,4为圆心，半径为2的圆的右边部分（内部） ，观 察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是  13,7 ，所以  m2 n213,49 答案：C 例 3：已知函数y  f x是R 上的减函数，函数y  f x 1的图像关于点1,0对称，若 22 实数x, y满足不等式f x  2x   f 2y  y，且1 x  4，则  y 的取值范围是_____ x 思路：从所求出发可联想到x,y与0,0连线的斜率，先分析 已知条件，由f x 1对称性可知 fx为奇函数，再结合单 调递减的性质可将所解不等式进行变形： f x2  2x  f 2y  y2 fx2  2x f y2  2y  x22x  y2 2y，即x2 y2 2x  y 0，所以有 ，数形结合可知 x yx y 2 0 。再结合1 x  4可作出可行域（如图） y 的范围是 x  1   2 ,1  答案： ,1  1   2  - 2 - 例 4：已知,是三次函数 fx 1 3 1 2x ax  2bxa,bR的两个极值点，且 32 0,1,1,2，则 1  4 b  2 的取值范围是（） a 1 A.  ,1 B.  ,1 C.  ,  D.  ,  思路：由极值点可想到方程f x 0 的根，f x x2ax  2b ，依题意可得： 1  2  1 1  2 4  1 1  2 2 x2 ax  2b  0的两根分别在0,1,1,2中， 由二次函数图像  f 0 0 b  0  b  2 可知：f 1 0  a  2b 1 0，且所求可视为 a 1  4  2a  2b  0 f2  0    a,b与定点1,2连线的斜率，所以想到线性规划，通过作出 可行域，数形结合可知 答案：A 例 5：已知实系数方程x  ax bx  c  0的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线 的离心率，则 32 b  2 1  的范围是,1 a 1 4 b 的取值范围是_________ a 思路：以抛物线离心率为突破口可得 x 1是方程的根，设 fx x3ax2bxc，则f11 a b c 0，从而 c  a b 1 ，进而因式分解可知 2 所以椭圆与双曲线的离 x 1 x  a 1x 1 a b   0， 心率满足方程 x2a1x1ab  0 ，设 gx x2a 1x1a b，则由椭圆与双曲线离心率的范围可知gx 0一根在  g 0 0 1 a b  0  ，由不等式组想到利用线性规划 0,1，一根在1,，所以  2a b3 0g 1  0     求 bb 1 的范围，即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过作图即可得到 2,  aa  2 - 3 - 答案： b1 2, a2 a 的取值范围是______ b aa 思 路 ： 考 虑 将 条 件 向 与有 关 的 式 子 进 行 变 形 ， 从 而 找 到 关 于的 条 件 ： bb 例 6：已知三个正实数a,b,c满足bac2b,abc2a，则 ac bac2b12 a c bb , ，可发现不等式组只与 b b abc2a a 1 c2a bbb ac1xy2 相关， 不妨设x ,y ， 则不等式组转化为： bbx1y2x 1xy2 即 xy10 ， 所求恰好为x的范围， 作出可行域即可得到x 2xy10 的范围为, 2 3 3 2 答案：, 2 3 3 2 x0,y0 例 7：设P是不等式组 xy1 表示的平面区域内的任意一点，向量m1,1， xy3 n2,1，若OPm