小学六年级奥数抽屉原理含答案

抽屉原理抽屉原理 知识要点 1.抽屉原理的一般表述 (1)假设有 3 个苹果放入 2 个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2 个苹果。它的一般表述为： 第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入 n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物体。 (2)若把 3 个苹果放入 4 个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为： 第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入 n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物体。 2.构造抽屉的方法 常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。 例例 1 1 自制的一副玩具牌共计自制的一副玩具牌共计 5252 张张( (含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1 1 点，点，2 2 点，……点，……1313 点牌各一张点牌各一张) )，洗好后背面朝上放。一次至少抽取，洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有张牌，才能保证其中必定有2 2 张牌的点数和颜色都张牌的点数和颜色都 相同。如果要求一次抽出的牌中必定有相同。如果要求一次抽出的牌中必定有 3 3 张牌的点数是相邻的张牌的点数是相邻的( (不计颜色不计颜色) )，那么至少要取，那么至少要取张牌。张牌。 点拨对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～13 点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取 的某张牌的颜色与点数都相同。 点拨对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13 各 4 张，此时再取一张， 这张牌的点数是 3，6，9，12 中的一张，在已抽取的牌中必有3 张的点数相邻。 解(1)13×2＋1＝27(张)(2)9×4＋1＝37(张) 例例 2 2 证明：证明：3737 人中，人中，(1)(1)至少有至少有 4 4 人属相相同；人属相相同；(2)(2)要保证有要保证有 5 5 人属相相同，但不保证有人属相相同，但不保证有 6 6 人属相相同，人属相相同， 那么人的总数应在什么范围内？那么人的总数应在什么范围内？ 点拨 可以把 12 个属相看做 12 个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。 解 (1)因为 37÷12＝3……1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相相同。 (2)要保证有 5 人的属相相同的最少人数为4×12＋1＝49(人) 不保证有 6 人属相相同的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在 49 人到 60 人的范围内。 例例 3 3 有一副扑克牌共有一副扑克牌共 5454 张，张， 问：问： 至少摸出多少张才能保证：至少摸出多少张才能保证： (1)(1)其中有其中有 4 4 张花色相同？张花色相同？(2)(2)四种花色都有？四种花色都有？ 点拨 首先我们要弄清楚一副扑克牌有 2 张王牌，四种花色，每种有 13 张。(1)按最不利原则先取出 2 张 为王牌，再取4 张均不同花色，再连续取两次4 张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3 张， 再取 1 张即可达到要求。(2)仍需按最不利原则去取牌，先是2 张王牌，接着依次把三种花色的牌全 部取出 13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取1 张即可。 解 (1)2＋4×3＋1＝15(张) (2)2＋13×3＋1＝42(张) 例例 4 4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几 名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？ 点拨 根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6 种情况： 解 借球有 6 种情况，看做 6 个抽屉， 所以至少要来 7 名学生借球，才能保证。 例例 5 5 从前面从前面 3030 个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小 数的倍数？数的倍数？ 点拨 把 1～30 这 30 个自然数分成下面 15 组：{1，2，4，8，16}，{3，6，12，24}，{5，10，20}， {7，14，28}，{9，18}，{11，22}，{13，26}，{15，30}，{1 7}，{19}，{21}，{23}，{25)，{27}， {29}，在这 15 组中，每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可把这15 组看做 15 个抽屉，至少要 取出 16 个数才能达到题目的要求。 例例 6 6 边长为边长为 1 1 的正方形中，任意给定的正方形中，任意给定 1313 个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有4 4 个点，以此个点，以此 4 4 点为顶点的四边形面积不超过四分之一。点为顶点的四边形面积不超过四分之一。 解：把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。 13=4×3+1，13 个点至少有 4 个点在同一个小正方形，以此4 点为顶点的 四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的四分之一。 例例 7 7 平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围 成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色. . 解 因为有六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意一点引五条线段中至少有三条线段同色， 不妨设是红色(如图红色线段为实线，蓝色线段为虚线)，这时三角形 a2a3a4 会出现两种颜色情况 (1)若 a2a3，a3a4，a2a4 中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与 它的两个端点与 a1 引出的两条线段组成一个红三角形。 (2)若 a2a3，a3a4，a2a4 中没有一条线段是红色的，则a2a3a4 为一个 蓝色三角形。综上所述，无论(1)还是(2)，题目结论都成立。 说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决 实际问题：结果可证明 6 人之间至少有 3 人互相认识或不认识。 1.1.要在要在 3030 米长的水泥台上放米长的水泥台上放 1616 盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过 2 2 米？米？ 解：两盆 30÷2=15 段，30 米中每两米为一段的有 15 段，16 盆花至少有两盆花在一段，至少两盆之 间的距离不超过 2 米。 3.3.在一个边长为在一个边长为 1 1 的正三角形内随意放置的正三角形内随意放置 1010 个点，试说明其中至少有两个点之间的距离不超过个点，试说明其中至少有两个点之间的距离不超过 1/31/3。。 解：把边长为一的正三角形平分成9 粉，由每个三角的边长为1/3， 必有两点在一个三角形内，则两点的距离小于1/3。 4.4.用黑、红两种颜色将一个长用黑、红两种颜色将一个长 9 9、宽、宽 3 3 的矩形中的边