五年级数学培优班讲义5长方体和正方体的体积

2013 年春季五年级培优班数学讲义 地址：虎门镇运河北路 118 路（旧人民医院旁） 电话：33226088 33226099 1 授课教师：苏建明 上课时间： 学生签名：_________ 家长签字 第五讲：正方体与长方体的体积 【专题知识点概述】 1、长方体\正方体体积 长方体体积=长×宽×高=底面积×高 V 长=abh 或V 长=Sh 正方体体积=棱长×棱长×棱长 V 正=a 3 或V 正=Sh 在解较复杂的组合图形（长方体或者正方体）的体积（容积）题目时，首先要看清题意，所求形体是 由哪些形体组成，再灵活运用体积（容积）公式来解答。 【典型例题】 【例 1】 凯欣家里有一个长方体形状的鱼缸，长 4 分米，宽 3 分米，里面只注入了 2 分米深的水。一天爸 爸买回了一块假山，当凯欣把假山放入金鱼缸后（假山全部浸入水中） ，水面立即上升了 6 厘米，你知道这 块假山的体积是多少？ 解题思路 鱼缸中放入假山后水面上升，说明假山在鱼缸中挤占了水的得空间，可知上升部分水的体积就 等于假山的体积。 解：4×3×0.6=7.2（立分分米） 答：这块假山的体积是 7.2 立分分米 巩固训练 1 1、一个正方体玻璃鱼缸长 2 分米，向鱼缸内倒入 5 升水，再把一块石头放入水中，石头完全被水浸没，这 时量得鱼缸内水深 15 厘米，问放入的石头体积是多少立方厘米？ 2、小红想测量一个铁球的体积，于是把它放进一个地面长 20 厘米，宽 15 厘米的长方体容器中，铁球完全 被水埋没，水面上升了 4 厘米，铁球的体积是多少立方厘米？ 3、兰兰想测一个石块的体积，将石块放入棱长是 8 厘米的一个正方体玻璃容器内，向容器中倒入水，将石 块完全埋没，测得水深 6 厘米，然后将石块从水中取出，测得水深 3 厘米，你能帮助兰兰算出这个石块的 体积是多少吗？ 【例 2】 如右图，从长为 13 厘米，宽为 9 厘米的正方形硬纸板的四角剪掉边长为 3 厘米的正方形，然后 2013 年春季五年级培优班数学讲义 地址：虎门镇运河北路 118 路（旧人民医院旁） 电话：33226088 33226099 2 沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？ 解题思路 由图可知，长方体底面的长为：13-3×2=(7厘米） 长方体底面宽为 9-3×2=3（厘米） 长方体的高为 3 厘米 所以长方体体积为：V=7×3×3=63(立方厘米） 解：V=(13-3×2)×(9-3×2)×3=63(立方厘米） 答：这个纸盒的体积是 63 立方厘米。 巩固训练 2 1、如图所示，从长为 20 厘米，宽为 10 厘米的长方形硬纸板的四角剪掉边长为 2 厘米的正方形，然后沿虚 线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？ 2、一个长方形的铁皮，从四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的 长方体铁盒，已知长方体铁盒的长是 8 分米，宽是 6 分米，高是 3 分米，这块长方形铁皮的面积是多少平 方米？ 【例 3】 一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为 4 厘米和 3 厘米的长方体后（如右图)，便成为一 个正方体，表面积减少了 140 平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？ 解题思路 由题意可知，表面积减少 140 平方厘米，这 140 平方厘米就是截去高为（4+3）厘米、底 面为正方形的长方体的侧面积。由侧面积=底面积×高，可求出正方体的底面周长，由此，可求出正方体的 棱长，从来求出原长方体的体积。 解：140÷（4+3）=20（厘米）……正方体底面周长 20÷4=5（厘米)…… 正方体棱长 5×5×（5+4+3）=300(立方厘米) 答：原长方体的体积是 300 立方厘米。 巩固训练 3 1、一个正方体的高增加 3 厘米，得到的长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了 60 平方厘米，求原 正方体的体积是多少？ 【例 4】如图，在一个棱长为 4 厘米的正方体中，沿着上下方向，前后方向，左右方向挖穿，各挖出一个 小长方体 A,B,C.剩下部分的体积是多少立方厘米？ 2013 年春季五年级培优班数学讲义 地址：虎门镇运河北路 118 路（旧人民医院旁） 电话：33226088 33226099 3 解题思路：由于剩下的部分是不规则的形体，很难直接求出体积，我们可以换个角度考虑，先求出挖 出部分的体积，再从正方体的体积里减去挖出部分的体积，从而得到剩下部分的体积。 解：A 和 B 共挖出的体积：1×4×2×2=16(立方厘米)， 挖出时 C 与 A、B 各有 2 个体积是 1 立方厘米的小正方体交叉重 复，只挖出：1×4×2-2×2=4， 一共挖出的体积：16+4=4（立方厘米） 剩下部分的体积：4×4×4-20=44（立方厘米） 答：剩下部分的体积是 44 立方厘米。 巩固训练 4 1、有一个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的木块，在每个面的中心位置都有 一个直穿对面的洞，洞口是边长为 1 厘米的正方形，求出这个长方体木块的体积和表面积分别是多少？ 2、有一个长 10 厘米，宽 8 厘米，高 6 厘米的长方体木块，在左右两个面的中心位置挖出了一个直穿对面 的洞口，洞口是边长为 1 分米的正方形。这个木块的体积和表面积分别是多少？ 【例 5】把两块棱长分别为 6 分米和 8 分米的正方体铁块，熔铸成一块长方体铁块，它的横截面是边长为 4 分米的正方形，这个长方体铁块长多少分米？ 解题思路：在铁块熔铸的过程中，铁块的形状，表面积等发生了改变，但铁块的总体积保持不变，因 此我们可以先求出原来两块铁块体积之和，即 6×6×6+8×8×8×8=728（立方分米） ，这也是熔铸后长方 体铁块的体积，要求出他的长，只要用体积除以横截面积即可。 解：6×6×6+8×8×8×8÷(4×4)=45.5(分米） 答：这个长方体铁块长 45.5 分米。 巩固训练 5 1、把一个棱长 10 分米的正方体铁块熔铸成一个横截面是 25 平方分米的长方体铁块，这个铁块的长是多 少？ 2、将 150 方水倒入一个长 10 米，宽 8 米，深 1.5 米的水池中，水池中水深多少米？ 2013 年春季五年级培优班数学讲义 地址：虎门镇运河北路 118 路（旧人民医院旁） 电话：33226088 33226099 4 3、有甲乙两个玻璃容器，甲容器长 8 分米，宽 6 分米，里面装满 5 分米高的水，乙容器的长是 12 分米， 宽是 5 分米，高是 10 分米，将甲容器中的水倒入乙容器中，水面距离容器口多少分米？ 【例 6】有 384 立方厘米的水倒入甲、乙两个长方体玻璃容器中，已知甲长方体玻璃容器的长是 10 厘米， 宽是 8 厘米，高是 6 厘米，乙容器的长是 8 厘米，宽是 6 厘米，高是 5 厘米，要使两个容器中的水面同样 高，这个高是多少厘米？ 解题思路：题中告诉我们两个容器，可以分别求出两个容器的底面积，因为两个容积的水面同样高，我们 可以将两个容器看做一个整体，看做一个容器，这个容器的底面积就是甲、乙两个容器底面积之和。用水