人教A版(2019)数学选择性必修第一册知识点总结

人教 A 版选择性必修第一册知识点总结 第 1 页 共 20 页 1.1.1 空间向量及其线性运算 1.空间向量 (1)定义 在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)长度 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. (3)表示方法 几何 表示法 空间向量用有向线段表示 字母 表示法 用一个字母表示,如图,此向量的起点是A,终点是B,可记作a,也可以 记作,其模记为|a|或|| (4)几类特殊的空间向量 ①零向量:规定长度为 0 的向量叫做零向量,记为 0. ②单位向量:模为 1 的向量称为单位向量. ③相反向量:与向量 a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量,记为-a. ④相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向 线段表示同一向量或相等向量. ⑤共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 2.空间向量的线性运算 (1)定义 类似平面向量,定义空间向量的加、减法运算(如图): =+=a+b; =-=a-b. (2)加法运算律 ①交换律:a+b=b+a; ②结合律:a+(b+c)=(a+b)+c. 1.1.2 空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 定义:已知两个非零向量 a,b,在空间中任取一点 O,作=a,=b,则∠AOB 叫做 向量 a,b 的夹角. 记法:. 范围:[0,π]. 人教 A 版选择性必修第一册知识点总结 第 2 页 共 20 页 如果=,那么向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥b. 2.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量 a,b,则|a||b|cos 叫做 a,b 的数量积,记作 a· b 运算 律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b) 交换律 a·b=b·a 分配律 ( + )· = · + · 两个向量数量积的性质 : (1)若 a,b 是非零向量,则 a⊥b⇔a·b=0; (2)若 a 与 b 同向,则 a·b=|a||b|; 若反向,则 a·b=-|a||b|; 特别地:a·a=|a|2或|a|=; (3)若θ为 a,b 的夹角,则 cos θ=; (4)|a·b|≤|a||b|. 1.2 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 (1)定理 条件 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p 结论 存在唯一的有序实数组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc (2)基底与基向量 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是 {p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可看作是由向量 a,b,c 生成的,我们把 {a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c 都叫做基向量. 2.空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是 1,那么这个基底叫 做单位正交基底,用{i,j,k}表示. (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 1.3.1 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底{i,j,k}.以点 O 为原点,分别以 i,j,k 的 方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都 叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz,O 叫做原点,i,j,k 都 叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 Oxy 平面,Oyz 平面,Ozx 平面,它们把空间分成八个部分. 人教 A 版选择性必修第一册知识点总结 第 3 页 共 20 页 2.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系 Oxyz 中 i,j,k 为坐标向量,对空间任意一点 A,对应一个向量 ,且点 A 的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理 ,存在唯一的有序实 数组(x,y,z), 使=xi+yj+zk. 在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序 实数组(x,y,z), 叫做点 A 在空间直角坐标系中的坐标 ,记作 A(x,y,z), 其中 x 叫 做点 A 的横坐标,y 叫做点 A 的纵坐标,z 叫做点 A 的竖坐标. 在空间直角坐标系 Oxyz 中,给定向量 a,作=a.由空间向量基本定理 ,存在唯一 的有序实数组(x,y,z), 使 a=xi+yj+zk. 有序实数组(x,y,z)叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,上式可简记作 a=(x,y,z). 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 1.空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示(a=(a 1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) ) 加法 a+b=(a 1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法 a-b=(a 1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 λa=(λa 1,λa2,λa3),λ∈R 数量积 a·b=a 1b1+a2b2+a3b3 2.空间向量的平行与垂直的坐标表示 平行或垂直 平行或垂直条件的坐标表示 a=(a 1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 平行(a∥b) a∥b⇔a=λb⇔(λ∈R 且 b≠0) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b=0⇔a 1b1+a2b2+a3b3=0 3.空间向量的模及夹角的坐标表示 (1)空间向量的模的坐标表示 ①若 a=(a 1,a2,a3),则|a|= ==,即|a|=. ②空间两点间的距离公式 已知 A(x 1,y1,z1),B(x2,y2,z2), a. =(x 2-x1,y2-y1,z2-z1). b.d AB=| |=. 人教 A 版选择性必修第一册知识点总结 第 4 页 共 20 页 (2)向量的夹角坐标公式 设 a=(a 1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 cos==. 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.用向量表示直线的位置 条 件 直线 l 上一点 A 表示直线 l 方向的向量 a(即直线 l 的方向向量) 形 式 在直线 l 上取=a,那么对于直线 l 上任意一点 P,一定存在实数 t 使得 =t 作 用 定位置 点 A 和向量 a 可以确定直线的位置 定点 可以具体表示出 l 上的任意一点 2.用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定 条件 平面α内两条相交直线的方向向量 a,b 和交点 O 形式 对于平面α上任意一点 P,存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb (2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定 平面的 法向量 直线 l⊥α,直线 l 的方向向量,叫做平面α的法向量 确定平 面位置 过点 A,以向量 a 为法向量的平面是完全确定的 3.空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面α,β的法向量分别为 u,v,则 线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a=kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0 面面平行 α∥β⇔u∥v⇔u=kv(k∈R) 线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0 线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a=λu(λ∈R) 面面垂直 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0 人教 A 版选择性必修