家家学专项培训——数论_教师版

第三讲 数论问题 真题模考 1.1.学前班有几十位小朋友，老师买来学前班有几十位小朋友，老师买来176 个苹果，个苹果，216 块饼干，块饼干，324 粒糖，并将它们粒糖，并将它们 尽可能地平均分给每位小朋友．余下的苹果、饼干、糖的数量之比是尽可能地平均分给每位小朋友．余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1：2：3，问，问 学前班有多少位小朋友？学前班有多少位小朋友？ 【分析】【分析】17634 5.6 21634  6.12 324349.18 所以有所以有34位小朋友。位小朋友。 2.2.某商店把一些旧存小刀作为处置品降价出售，小刀每把原价某商店把一些旧存小刀作为处置品降价出售，小刀每把原价0.30元，降价后存货元，降价后存货 全数卖出，共卖得全数卖出，共卖得6.29元．小刀每把降为多少元元．小刀每把降为多少元? ? 【分析】【分析】6.29 0.1737，，6.29只有这一种拆法，只有这一种拆法， 所以每把降价为所以每把降价为0.17元。元。 3.3.李老师率领一班学生去种树，学生恰好被平分成李老师率领一班学生去种树，学生恰好被平分成4个小组，总共种树个小组，总共种树748棵，若是棵，若是 师生每人种的棵数一样多，那么那个班共有学生师生每人种的棵数一样多，那么那个班共有学生人人 【分析】【分析】748 221117，只有，只有17除以除以4余余1，每人种，每人种44棵树，棵树， 所以共用学生所以共用学生17116人。人。 4.4. 123456 求下式约简后的分母：求下式约简后的分母： 262626  90100  26 【分析】分子有【分析】分子有50 251263197个个2相乘，有相乘，有331131 48个个3相乘，相乘， 分母有分母有100个个2相乘，相乘，50个个3相乘，相乘， 约简完分母为约简完分母为2332 72。。 5.5.列位数字和等于列位数字和等于50且能被且能被4整除的整除的6位数共有多少个位数共有多少个? ? 【分析】数字【分析】数字9,9,9,9,8,6组合有组合有5个，个， 数字数字9,9,9,8,8,7组合有组合有4个，个， 数字数字9,9,8,8,8,8组合有组合有6个，个， 共计共计15个。个。 6.6.已知三个素数的积为它们的和的已知三个素数的积为它们的和的 5 倍，则它们别离是倍，则它们别离是__________、、______________、、______________。。 【分析】【分析】257 14 145 70 257 70 三个素数别离是三个素数别离是257。。 7.7.把把17分成若干个自然数的和，如何分才能使这些自然数的乘积最大分成若干个自然数的和，如何分才能使这些自然数的乘积最大? ? 【分析】【分析】33 222，所以分成，所以分成333332最大。最大。 8.8.10个盒子共装有个盒子共装有1000个弹子，问如何装法能使顾客在购买个弹子，问如何装法能使顾客在购买1至至1000之间的任何数之间的任何数 量的弹子时，不用打开盒子，即可拿到所购数量的弹子量的弹子时，不用打开盒子，即可拿到所购数量的弹子? ? 【分析】【分析】10个盒子别离装个盒子别离装1,2,4,8,16,32,64,128,256,512，， 剩下的剩下的1个弹子不用装。个弹子不用装。 9.9.所有所有3的方幂和互不相等的的方幂和互不相等的3的方幂的和排成一个递增的数列：的方幂的和排成一个递增的数列： 1,3,4,9,10,12,13,.求这列数的第求这列数的第100项。项。 【分析】【分析】 若是将这些数用三进制表达，若是将这些数用三进制表达， 那么那个数列是那么那个数列是 1， 10， 11， 100， 101， 110， 111， ……， 这列数和二进制数列这列数和二进制数列 1，，10，，11，，100，，101，，1110，，111，……，，……， “表面形式”是一“表面形式”是一 样的，样的，二进制的序列是持续的整数序列其第二进制的序列是持续的整数序列其第 100 个数是个数是 1100100，，所以三进制数列所以三进制数列 中第中第 100 个数的形式也是“个数的形式也是“1100100”但它化作十进制是”但它化作十进制是363532 981，而不是，而不是 100。所以这列数的第。所以这列数的第 100 项是项是 981 10.10.任意一个自然数任意一个自然数n, ,当当n为奇数时，加上为奇数时，加上121；当；当n为偶数的时候，除以为偶数的时候，除以2。算一次。算一次 操作。此刻对于操作。此刻对于572持续进行这种操作，在操作进程中是不是能出现持续进行这种操作，在操作进程中是不是能出现100？为何？？为何？ 【分析】【分析】572286143264 132663315477 1989922011055 17688442211132 出现循环，并无出现出现循环，并无出现100，所以不能出现，所以不能出现100。。 考点拓展 【例【例1 1】】 肖红家的电话号码是个七位数。将前肖红家的电话号码是个七位数。将前 4 位组成的数与后三位组成的数相加，取得位组成的数与后三位组成的数相加，取得 7088；将前三位组成的数与后四位组成的数相加，取得；将前三位组成的数与后四位组成的数相加，取得 1922。肖红家的电话号码。肖红家的电话号码 是是____________。。 【分析】设七位数为【分析】设七位数为abcdefg,由题意有：由题意有： ab e 70 c f 8 d g 8 a e 9 b f 2 c g 2 (1)(1)(2)(2) d 1 由由(2)(2)式知，式知，d 1；；在由在由(1)(1)式知，式知，g  7；；再由再由(2)(2)式知，式知，c 5…………依次可得，依次可得，f 3，， b 8，，e  2，，a 6。。abcdefg,= =6851237。。 【例【例2 2】】 红、黄、白、蓝卡片各一张，每张上写有一个数字。小明将这红、黄、白、蓝卡片各一张，每张上写有一个数字。小明将这 4 张卡片如下图放张卡片如下图放 置，置， 使它们组成一个四位数，使它们组成一个四位数， 并计算那个四位数与它的列位数字之和的并计算那个四位数与它的列位数字之和的 10 倍的差。倍的差。 红黄白蓝 小明发觉，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是小明发觉，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是 5544。那么红、黄、蓝三。那么红、黄、蓝三 张卡上的数字别离是张卡上的数字别离是__________、、__________、、__________。。 【分析】设红、黄、白、蓝卡片上的数字别离是【分析】设红、黄、白、蓝卡片上的数字别离是A，，B，，C，，D，则有，则有 1000A+100B+10C+D-10×(A+B+C+D)=5544，，110A+10B-D=616。由上式。由上式 可得可得A= =5，，B= =7，，D= =4。。 【例【例3 3】】 8 是是 4 的倍数，的倍数，9 是是 3