安徽安徽师范大学附属中学平面向量多选题试题含答案

安徽安徽师范大学附属中学平面向量多选题试题含答案安徽安徽师范大学附属中学平面向量多选题试题含答案 一、平面向量多选题一、平面向量多选题 1．定义空间两个向量的一种运算ab  a  b sin a,b，则关于空间向量上述运算的以 下结论中恒成立的有（） A． ab ab B．a b  b a C． a b c a c b c D．若a  x 1, y1 ，b x 2 , y 2 ，则ab  x 1 y 2  x 2 y 【答案】BD 【分析】 对于 A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于 C,当a   λb时,  a bc 1b  c sin b,c , acb c b  c sin b,c  b  c sin 化简验证即可. 【详解】 解：对于 A： a b a  b sin a,b 故 ab ab不会恒成立； b,c 1b  c sin b,c ,显然不会 恒成立. 对于 D,根据数量积求出cos a,b,再由平方关系求出sin a,b的值,代入定义进行  ，ab  a  b sina,b ，  对于 B，ab  a  b sin a,b，ba= b  a sin b,a，故a b  b a恒成立； 对于 C，若aλb，且 0， a b c 1b  c sin b,c ，  acb c b  c sin b,c  b  c sin b,c 1b  c sin b,c ， 显然 a b c a c b c 不会恒成立； 对于 D， cos a,b   x 1x2  y 1 y 2 a  b  x x  y y  12，，sin a,b  112  a  b   2 2 2 x x  y y  2  x 1x2  y 1 y 212即有ab  a  b  112 a b    a  b a   x 1 2 y 1 2   x x  y y  22x 2  y 2  1212  x2 y2  11  2 2 x2 1 22 y 1 2x 2  y 2 x 1x2  y 1 y 2  x 1 2y 2 2 x 2 2y 1 22x 1x2 y 1 y 2  x 1 y 2  x 2 y 1 . 则ab  x 1 y 2  x 2 y 1 恒成立. 故选：BD. 【点睛】 本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题. 2．已知集合M= x, y y  f x ,若对于x , y M ,x , y M ,使得 1122 2 x 1x2  y 1 y 2  0成立,则称集合 M 是“互垂点集”.给出下列四个集 合:M1  x, y y  x 1;M  x, y y  2 x1 ;M 3   x, y y  e  ; x M 4 x, yy  sin x1.其中是“互垂点集”集合的为( ) A．M1 【答案】BD 【分析】 根据题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点Px 1, y1 ，在图象上存在另一个点 B．M 2 C．M 3 D．M 4 P ，使得OP  OP，结合函数图象即可判断． 【详解】 由题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点Px 1, y1 ，在图象上存在另一个点 P ，使得OP  OP． 在y  x 1的图象上，当P点坐标为(0,1)时，不存在对应的点 P ， 所以M1不是“互垂点集”集合； 对y  2 x1的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以在M 2 中的任意点Px 1, y1 ，在M 2 中存在另一个 P ，使得OP  OP， 所以M 2 是“互垂点集”集合； x 在y  e的图象上，当P点坐标为(0,1)时，不存在对应的点 P ， 所以M 3 不是“互垂点 集”集合； 对y  sin x 1的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以M 4 是“互垂点集”集合， 故选：BD． 【点睛】 本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模 能力和数学抽象能力，属于较难题． 3．下列关于平面向量的说法中正确的是（） A．已知a,b均为非零向量，若a//b，则存在唯一的实数，使得a λ b B．已知非零向量a  (1,2),b  (1,1)，且a与a λb的夹角为锐角，则实数的取值范围是 5  ,  3  C．若ac  bc且c  0，则a  b D．若点G为 ABC的重心，则GAGB GC  0 【答案】AD 【分析】 由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算 性质可判断选项 C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】 对于选项 A： 由向量共线定理知选项A 正确； 对于选项 B：ab 1,21,11,2 ，若a与a λb的夹角为锐角，则 5 a ab 122 53 0解得  ，当a与a λb共线时， 3  2 21，解得：  0，此时a  (1,2)，ab 1,2，此时a  b夹角为0， 5 不符合题意，所以实数的取值范围是 ,0  0,，故选项 B 不正确；  3  对于选项 C：若ac  bc，则c ab  0，因为c  0，则a  b或c与a b垂直， 故选项 C 不正确； 对于选项 D：若点 G 为ABC的重心，延长AG与BC交于M，则M为BC的中点， 所以AG  2GM  2  GBGC  GBGC，所以GAGB GC  0，故选项 D 正确.  1 2  故选：AD 【点睛】 易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由 向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于 0，但数量积小于0向量夹角为钝角或. 4．下列命题中真命题的是（） A．向量a与向量b共线，则存在实数 λ 使a λb（λ∈R） B．a，b为单位向量，其夹角为θ，若|a b |＞1，则  3 ＜θ≤π C．A、B、C、D 是空间不共面的四点，若AB•AC 0，AC•AD 0，AB•AD 0 则 △ BCD 一定是锐角三角形 D．向量AB，AC，BC满足AB  AC BC，则AC与BC同向 【答案】BC 【分析】 对于 A：利用共线定理判断 对于 B：利用平面向量的