71复数的三角表示式原卷版
7.3.1 复数的三角表示式 导学案导学案 编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波 【学习目标】【学习目标】 1. 1.知道复数的模和辐角的定义 2. 2.会求复数的模和辐角主值 3. 3.能求出复数的三角形式 【自主学习】【自主学习】 知识点知识点 1 1复数的三角形式复数的三角形式 1．定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数 z＝a＋bi 的三角表示式，简称三角形式．其中， r 是复数 z → 的模；θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 z ＝a＋bi 的辐角．为了与三角形式区分开来， a＋bi 叫做复数的代数表示式， 简称代数形式． 2．非零复数z辐角θ的多值性 → 以 x 轴正半轴为始边，向量OZ所在的射线为终边的角 θ 叫复数 z＝a＋bi 的辐角，因此复数 z 的辐角是 θ＋2kπ(k∈Z Z) (k∈Z Z)． 3．辐角主值 (1)表示法：用 argz 表示复数 z 的辐角主值． (2)定义：适合[0,2π)的角 θ 叫辐角主值． (3)唯一性：复数 z 的辐角主值是的、的． 知识点知识点 2 2复数的代数形式与三角形式的互化复数的代数形式与三角形式的互化 ＝， a 复数 z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为b＝ ， r＝ a 2＋b2. 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一代数形式与三角形式的转换代数形式与三角形式的转换 【例【例 1 1】】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式： (1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ. 归纳总结：归纳总结： 【练习【练习 1 1】】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式： (1)z3＝－sinθ＋icosθ；(2)z4＝－sinθ－icosθ；(3)z5＝cos60°＋isin30°. 探究二探究二将复数的三角形式化为代数形式将复数的三角形式化为代数形式 22 3 2cosisin 33 【例【例 2 2】】将复数 归纳总结：归纳总结： 化为代数形式为________． 44 6cos-isin 33 【练习【练习 2 2】】复数 的代数形式是. 探究三探究三复数的模与辐角主值复数的模与辐角主值 【例【例 3 3】】求复数 z＝1＋cosθ＋isinθ(πθ2π)的模与辐角主值． 归纳总结：归纳总结： 1＋itanθ 11 【练习【练习 3 3】】将 z＝(πθ3π)化为三角形式，并求其辐角主值． 1－itanθ 4 探究四探究四复数辐角的应用复数辐角的应用 5 【例【例 4 4】】复数 z 满足 arg(z＋3)＝ π，求|z＋6|＋|z－3i|最小值． 6 归纳总结：归纳总结： 【练习【练习 4 4】】已知|z－2i|≤1，求 arg(z－4i)最大值． 课后作业课后作业 A A 组组 基础题基础题 一、选择题一、选择题 3π 1．若复数 z＝(a＋i)2的辐角主值是，则实数 a 的值是() 2 A．1B．－1 C．－ 2D．－ 3 cos2θ＋isin2θ5π 2．设 πθ，则复数的辐角主值为() 4cosθ－isinθ A．2π－3θ C．3θ 3．设复数 2－i 和 3－i 的辐角主值分别为 α，β，则 α＋β 等于() A．135° C．675° B．315° D．585° B．3θ－2π D．3θ－π 4．复数 z 满足|Z 1 |1，复数 z 的辐角为 30°，复数 z 的模为( ) Z B．－1A．1 C．－ 2D．－ 3 5．复数 sin 50°－isin 140°的辐角的主值是() A．150° C．－40° 6．若复数 cos θ＋isin θ 和 sin θ＋icos θ 相等，则 θ 的值为() π A．4 π C．2kπ＋ (k∈Z Z) 4 7．(多选)复数 z＝3＋ 3i 化为三角形式正确的是() ππ A．z＝2 3(cos ＋isin ) 66 ππ B．z＝2 3(cos －isin ) 66 77π C．z＝2 3(cos π＋isin) 66 1313π D．z＝2 3(cosπ＋isin) 66 π5π B． 或 44 π D．kπ＋ (k∈Z Z) 4 B．40° D．320° 二、填空题二、填空题 1 8．复数的代数形式是. ππ cos ＋isin 33 π 9．已知复数 z 满足 z z －2iz＝3－2ai(a∈R R )，且 argzπ，则 a 的取值范围为. 2 2π2π 10．已知 z＝cos＋isin，则 arg z2＝________. 33 三、解答题三、解答题 11．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． 44 -2cosisin 55 (1) ；(2)sin3π＋icos3π. 55 12．已知复数 z 满足等式|Z 1 1π |＝2，且 argz＝6，求 z. Z B B 组组 能力提升能力提升 一、选择题一、选择题 3π 1．若复数 z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数 a 的值是() 2 A．1B．－1 C．－ 2D．－ 3 cos 2θ＋isin 2θ5π 2．设 π＜θ＜，则复数的辐角的主值为() 4cos θ－isin θ A．2π－3θ C．3θ B．3θ－2π D．3θ－π 二、填空题二、填空题 3．已知复数 z 的模为 2，实部为 3，则复数 z 的代数形式和三角形式为． 三、解答题三、解答题 4．把下列复数转化为三角形式． (1)－1；(2)2i. 5．设 O 为复平面的原点，A、B 为单位圆上两点，A、B 所对应的复数分别为 z1、z2，z1、z2 11 的辐角的主值分别为 α、β.若△AOB 的重心 G 对应的复数为 ＋i，求 tan(α＋β)． 315 6．已知复数 z1＝ 3cosθ－isinθ，z2＝sinθ－ 3icosθ，当 θ∈[0,2π)，求 arg(z1－z2)的值．
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