2019江苏高考学科基地秘卷四

2019 江苏高考学科基地秘卷（四） 数学 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上． ） 1．已知集合 A＝{0，x}，B＝{0，﹣1}，若 AB＝{﹣1，0，1}，则实数 x 的值为． 2．若复数 z 满足i(z i) 12i（其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为． 3．函数y  log 1 x1的定义域为 ． 3 4．若一组样本数据 4，5，x，3，6 的平均数为 5，则该组 样本数据的方差为． 5．如图是一个算法的流程图，则输出的I 的值为． 6．三个小朋友之间准备送礼物，约定每人只能送出一份礼 物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同） ，则 三人都收到礼物的概率为． x2y2x2 7．已知双曲线 2  2 1(a＞0，b＞0)的焦点与椭圆 2ab5a y2  2 1的焦点重合，则双曲线的离心率为 ． a 8．若将函数f (x) sinx( 0)的图象向右平移 的最小值为． 9． 已知函数f (x)是定义在 R 上的偶函数， 且当 x≥0 时，f (x)  log3(x1)， 则满足不等式f (2x1)1 的实数 x 取值范围是． 10．如果一个球的内接圆锥的母线长是这个球的半径的 为． 11．已知正项数列an的前 n 项和为Sn，a 1  2，且当 n≥2 时， 2  3 个单位得到函数g(x)  sin(x  6 ) 的图象，则 3倍，则圆锥的侧面积与球的表面积之比 1 为Sn和Sn1的等差中项，则S32的 an 值为． 12．已知正实数 a，b 满足a  2b  2，则(a 22 41 )(b)的最小值为 ． ab 13． 已知圆 C：0)， P， Q 为圆 C 上两动点， R 为弦 PQ 的中点， 若APAQ0， (x1)  y 8及定点 A(1， 则线段 RC 的最大值为． 1 14． 已知在△ABC 中， a， b， c 分别为三个内角 A， B， C 的对边， 若 tanA＝2tanB， 则 bc 的最大值为． a 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． ） 15． （本小题满分 14 分） 如图，在△ABC 中，已知∠BAC＝120°，AB＝5，AC＝3，D 是边 BC 上一点，CD＝2DB，AE 是 BC 边上的高． （1）求 AE 的长度； （2）求ADBC的值． 16． （本小题满分 14 分） 如图，正方形 ABCD 所在平面与等腰三角形PAB所在平面互相垂直，PA＝PB，E 为线段 BC 的中点． （1）求证：DE⊥PC； （2）若 F 为线段 PC 上的一点，且 CF＝ 1 FP，求证：PA//平面 DEF． 2 17． （本小题满分 14 分） 如图 1，有一块直角三角形铁皮 ABC，其中 AC＝3，BC＝4(单位：m)，根据实际需要，将此铁皮沿 过直角顶点 C 的一条直线 CD 折起，形成一个支架，使面BCD 与面 ACD 垂直，如图 2，设∠ACD＝． （1）为安全起见，在A，B 之间加一根支柱，当为多大时，支柱 AB 最短； （2） 为充分利用， 再用铁皮把折起的支架焊接成一个三棱锥形铁皮容器B—ACD，当 tan为多大时， 此容器的容积最大？ 2 18． （本小题满分 16 分） 2x2y2 已知椭圆 C： 2  2 1(a  b  0)的离心率为 ，右准线方程为 x＝2 2． ab2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过椭圆的右焦点F 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，P 为右准线与 x 轴的交点，记 直线 PA的斜率为k 1 ，直线 PB 的斜率为k 2 ，若 11  2 8，求直线 l 的方程． 2k 1 k 2 19． （本小题满分 16 分） 已知数列a n的前 n 项和 S n 满足Snt(Snan1)（t 为常数，且 t＞0，t≠1） ． （1）求a n的通项公式； （2）设b n  a n S n a n ，若数列b n为等比数列，求 t 的值； 2 （3）在满足条件（2）的情形下，设cn 4an1，数列c n 的前 n 项和为T n ，若不等式 3 12k  2n7对任意的nN恒成立，求实数 k 的取值范围． 4nTn 20． （本小题满分 16 分） 设函数f (x)  ln xa(x1)(x2)(x 1)． （1）若a   1 ，证明：函数f (x)只有一个零点； 2 （2）求函数f (x)的单调区间； （3）若对任意的x(1，)，f (x)＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围． 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21． 【选做题】本题包括A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10 分共计 20 分，解答时应写出 文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 1 已知矩阵 A＝ 2 4 2 ，B＝ 7 1 0 1 ，求A B．  3 4 B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x  1tcos (t 为参数，为倾斜角)，以坐标原 y tsin 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 4sin( 交于 A，B 两点，且 AB＝ 7，求直线 l 的直角坐标方程． C．选修 4—5：不等式选讲 解不等式x2  2x1 1．  6 )．若直线l 与曲线 C 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22． （本小题满分 10 分） 支付宝作为一款移动支付工具，在日常生活中起到了重要的作用． （1）通过现场调查12 位市民得知，其中有10 人使用支付宝．现从这12 位市民中随机抽取 3 人，求 至少抽到 2 位使用支付宝的市民的概率； （2）为了鼓励市民使用支付宝，支付宝推出了“奖励金”活动，每使用支付宝支付一次，分别有 1 ， 2 11 ，的概率获得 0.1，0.2，0.3 元奖励金，每次支付获得的奖励金情况互不影响．若某位市民在一天内使 36 5 用了 2 次支付宝，记 X 为这一天他获得的奖励金数，求X 的概率分布和数学期望． 23． （本小题满分 10 分） 设集合 A 是一个由正整数组成的集合，并有如下性质： (i)1A；(ii)对任意 xA，在A 中去掉 x 后剩 下元素的算术平均数是正整数．将具有这样性质的集合A 称为创新集． （1）当集合 A 中的最大元素为 5 时，求所有的创新集A； （2）当集合 A 中的最大元素为 2021 时，求创新集 A 中元素个数的最大值． 6