2020年新高考数列专题复习

2020 年新高考数列最全专题复习 一、数列知识的梳理一、数列知识的梳理 1.等差数列的通项公式和前n 项和公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是： a n  a 1 (n1)d  dn(a 1 d) 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的前n项和公式是： S n  2.等差数列的性质 (a 1 a n )nn(n1)dd 2 d  na 1 n (a 1 )n 2222 (n,mN*). (1)通项公式的推广：an am(nm)d (2)若an为等差数列，且k l  mn(k,l,m,nN*)，则ak a l  a m a n . (3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d. (4)若an， b n  是等差数列，则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列，公差为d，则ak,akm,ak2m 差数列. (6)数列Sm,S2mm,S3m2m,构成等差数列. 3.等比数列的通项公式和前n 项和公式 如果等比数列an的首项为a1，公比为 q ，那么它的通项公式是： (k,mN*)，是公差为md的等 a n  a 1 qn1(q  0) 如果等比数列an的首项为a1，公比为 q ，那么它的前n项和公式是： na 1  S n a 1(1q n)a 1 a nq  1q1q  4.等比数列的性质 nm (1)通项公式的推广：an amq q 1; q 1. (n,m N*). (2)若an为等比数列，且k l  mn(k,l,m,nN*)，则ak a l  a m a n . 第 1 页 共 7 页 (3)若an， b n  （项数相同）是等比数列，则 a n  ( 0),{ 等比数列. a n 1  }, a2, a b ,{}仍是 n nn a n b n   (4)公比不为-1 的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn,S2nn,S3n2n,仍成等比数列，其 公比为q. n  S n  Aqn B (5)若an是公比不为1的等比数列， 二、数列通项的几种求法二、数列通项的几种求法 1.累加法： 数列的基本形式为：an1an f (n) (A B  0,且A  0,q  0,q 1). (nN*). 等式左边 (an a n1)(an1 a n2 )(a 3 a 2 )(a 2 a 1)  (an a 1) 等式左边 f (n1) f (n2) f (2) f (1) 所以：an  f (n1) f (n2) f (2) f (1)a 1 . 例 1已知an的首项a11,an1 an 2n, 2.累乘法： (n N*)，求a n  的通项公式. a n1 f (n)(nN*) .数列的基本形式为： a n 等式左边 a n a n1 aaa 32n a n1 a n2 a 2 a 1 a 1 等式左边 f (n1) f (n2) f (2) f (1) 所以：an [ f (n1) f (n2) f (2) f (1)]a 1 . 例 2已知an的首项a1 2,an1 第 2 页 共 7 页 n a n ,(nN*)，求a n  的通项公式. n2 2.公式法： 若Sn为数列an的前n项和，即：Sn  a 1 a 2  a 3  a n ，则 n 1;  S 1 a n S S n  2. n1  n 例 3数列an中，Sn是前n项和，若a1 2,an1 4.待定系数法： 数列an有形如an1  ka n b(k 1)的关系时，可用待定系数法求得a n t为等比数列， 进而求得an. 即：an1t  k(ant) 展开可得：an1  ka n (k 1)t ，其中t  例 4已知数列an满足关系，an1  3a n  2且a11，求a n  的通项公式. 5.倒数法： 数列an有形如an1(an k)  a n 的关系时，可先用倒数法，再用待定系数法求an. 即：an1an ka n1  a n 两边同时除以an1an，可得：1 1 S n ,(n  2)，求a n  的通项公式. 3 b . k 1 k1  a n a n1 将 1 看成一个整体运用待定系数法，从而得出an. an 第 3 页 共 7 页 例 5已知数列an满足关系，an1  课堂练习： a n * 且a1 2(nN )，求an的通项公式. a n 3 1.已知等差数列an中，a10  28,S 6  51，求数列a n  的通项公式. 2.已知数列an满足，a1 1,a n1  a n 2n1，求数列a n  的通项公式. 3.已知数列an满足，a1 1, 4.已知数列an的前n项和Sn满足，Sn 5.已知数列an满足，a1 1,a n1  2a n 1，求数列a n  的通项公式. 6.已知数列an满足，a1 1,a n1  第 4 页 共 7 页 a n1 2n ，求数列an的通项公式. a n 1 (a n 1)2且a n  0，求数列a n  的通项公式. 4 2a n ，求数列an的通项公式. a n 2 三、数列前三、数列前 n n 项和的求法：项和的求法： 1.裂项相消法： 一般地，若是公差为d的等差数列，则有： 1111 () a 1·a2·a3 a n (n1)d a 1·a2·a3 a n1 a 2·a3·a4 a n 特殊的裂项公式： （1）an  （2）an  （3）an  例 6已知数列an是递增的等比数列，且a1a4  9,a 2 a 3 8. ⑴求数列an的通项公式； ⑵设Sn为数列an的前n项和，bn  * 例 7已知数列an满足a11,an1an n1 (nN )，求数列{ 111  ； n(n1)nn1 1111 ()； (2n1)(2n1)2 2n12n1 1 n n1 n1n . a n1 求数列 b n  的前前n项和Tn. S nSn1 1 }的前 10 项和. an 2.错位相减法： 一般地， 若数列an是公差为d的等差数列， 数列 b n  是公比为q的等比数列， 若cn  a n b n ， 则数列cn的前n项和Sn： 第 5 页 共 7 页 S n  a 1b1 a 2b2 a 3b3 a 4b4 a nbn …………………………① qS n  a 1b2