2020年新高考数列专题复习

2020 年新高考数列最全专题复习 一、数列知识的梳理一、数列知识的梳理 1.等差数列的通项公式和前n 项和公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 a n  a 1 n1d  dna 1 d 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的前n项和公式是 S n  2.等差数列的性质 a 1 a n nnn1dd 2 d  na 1 n a 1 n 2222 n,mN*. 1通项公式的推广an amnmd 2若an为等差数列，且k l  mnk,l,m,nN*，则ak a l  a m a n . 3若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d. 4若an， b n  是等差数列，则panqbn也是等差数列. 5若an是等差数列，公差为d，则ak,akm,ak2m 差数列. 6数列Sm,S2mm,S3m2m,构成等差数列. 3.等比数列的通项公式和前n 项和公式 如果等比数列an的首项为a1，公比为 q ，那么它的通项公式是 k,mN*，是公差为md的等 a n  a 1 qn1q  0 如果等比数列an的首项为a1，公比为 q ，那么它的前n项和公式是 na 1  S n a 11q na 1 a nq  1q1q  4.等比数列的性质 nm 1通项公式的推广an amq q 1; q 1. n,m N*. 2若an为等比数列，且k l  mnk,l,m,nN*，则ak a l  a m a n . 第 1 页 共 7 页 3若an， b n  （项数相同）是等比数列，则 a n   0,{ 等比数列. a n 1  }, a2, a b ,{}仍是 n nn a n b n   4公比不为-1 的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn,S2nn,S3n2n,仍成等比数列，其 公比为q. n  S n  Aqn B 5若an是公比不为1的等比数列， 二、数列通项的几种求法二、数列通项的几种求法 1.累加法 数列的基本形式为an1an f n A B  0,且A  0,q  0,q 1. nN*. 等式左边 an a n1an1 a n2 a 3 a 2 a 2 a 1  an a 1 等式左边 f n1 f n2 f 2 f 1 所以an  f n1 f n2 f 2 f 1a 1 . 例 1已知an的首项a11,an1 an 2n, 2.累乘法 n N*，求a n  的通项公式. a n1 f nnN* .数列的基本形式为 a n 等式左边 a n a n1 aaa 32n a n1 a n2 a 2 a 1 a 1 等式左边 f n1 f n2 f 2 f 1 所以an [ f n1 f n2 f 2 f 1]a 1 . 例 2已知an的首项a1 2,an1 第 2 页 共 7 页 n a n ,nN*，求a n  的通项公式. n2 2.公式法 若Sn为数列an的前n项和，即Sn  a 1 a 2  a 3  a n ，则 n 1;  S 1 a n S S n  2. n1  n 例 3数列an中，Sn是前n项和，若a1 2,an1 4.待定系数法 数列an有形如an1  ka n bk 1的关系时，可用待定系数法求得a n t为等比数列， 进而求得an. 即an1t  kant 展开可得an1  ka n k 1t ，其中t  例 4已知数列an满足关系，an1  3a n  2且a11，求a n  的通项公式. 5.倒数法 数列an有形如an1an k  a n 的关系时，可先用倒数法，再用待定系数法求an. 即an1an ka n1  a n 两边同时除以an1an，可得1 1 S n ,n  2，求a n  的通项公式. 3 b . k 1 k1  a n a n1 将 1 看成一个整体运用待定系数法，从而得出an. an 第 3 页 共 7 页 例 5已知数列an满足关系，an1  课堂练习 a n * 且a1 2nN ，求an的通项公式. a n 3 1.已知等差数列an中，a10  28,S 6  51，求数列a n  的通项公式. 2.已知数列an满足，a1 1,a n1  a n 2n1，求数列a n  的通项公式. 3.已知数列an满足，a1 1, 4.已知数列an的前n项和Sn满足，Sn 5.已知数列an满足，a1 1,a n1  2a n 1，求数列a n  的通项公式. 6.已知数列an满足，a1 1,a n1  第 4 页 共 7 页 a n1 2n ，求数列an的通项公式. a n 1 a n 12且a n  0，求数列a n  的通项公式. 4 2a n ，求数列an的通项公式. a n 2 三、数列前三、数列前 n n 项和的求法项和的求法 1.裂项相消法 一般地，若是公差为d的等差数列，则有 1111  a 1a2a3 a n n1d a 1a2a3 a n1 a 2a3a4 a n 特殊的裂项公式 （1）an  （2）an  （3）an  例 6已知数列an是递增的等比数列，且a1a4  9,a 2 a 3 8. ⑴求数列an的通项公式； ⑵设Sn为数列an的前n项和，bn  * 例 7已知数列an满足a11,an1an n1 nN ，求数列{ 111  ； nn1nn1 1111 ； 2n12n12 2n12n1 1 n n1 n1n . a n1 求数列 b n  的前前n项和Tn. S nSn1 1 }的前 10 项和. an 2.错位相减法 一般地， 若数列an是公差为d的等差数列， 数列 b n  是公比为q的等比数列， 若cn  a n b n ， 则数列cn的前n项和Sn 第 5 页 共 7 页 S n  a 1b1 a 2b2 a 3b3 a 4b4 a nbn ① qS n  a 1b2