北师大版八年级数学下册教学设计角平分线

《角平分线》教学设计《角平分线》教学设计 ◆ 教材分析教材分析 线段的垂直平分线是义务教育课程标准实验教科书（北师版） 《数学》八年级下册第一 章第三节内容， 本章主要是有关命题的证明及三角形的性质； 本节要求了解勾股定理逆定理 的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念， 会识别两个互逆命题、知道原命题成立其。所 以本节的重点是进一步掌握演绎推理的方法。 学生的知识技能基础： 通过上节的学习， 学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个 很深的了解和理解， 在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用， 提高学生 证明推理能力。 ◆ 教学目标教学目标 【知识与能力目标】 （1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。 （2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。 【过程与方法目标】 （1）进一步发展学生的推理证明意识和能力。 （2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。 （3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。 【情感态度价值观目标】 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。 ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 ◆ 教学重难点教学重难点 【教学重点】 ①三角形三个内角的平分线的性质。 ②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。 【教学难点】 角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。 ◆ 课前准备课前准备 教师准备 1 课件、多媒体； 学生准备； 练习本； ◆ 教学过程教学过程 第一环节：设置情境问题，搭建探究平台第一环节：设置情境问题，搭建探究平台 问题 l习题 1．8 的第 1 题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自 己发现的结论一定正确吗？ 于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” 。 当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行 逻辑上的证明。 第二环节：展示思维过程，构建探究平台第二环节：展示思维过程，构建探究平台 已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM、CN 相交于点 P， 证明：P 点在∠BAC 的角平分线上． 证明：过 P 点作 PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中 D、E、F 是垂足． ∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE=PF． ∴PD=PF． ∴点 P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的 平分线上)． ∴△ABC 的三条角平分线相交于点P． 在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么 “附带” 的成果呢? （PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等． ） 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相 交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 A A D D N N P P B B E E C C MM F F 2 锐角三角形 三角形 钝角三角形 直角三角形 交点性质 问题 2 三边垂直平分线 交于三角形内一点 交于三角形外一点 交于斜边的中点 三条角平分线 交于三角形内一点 到三角形三边的距离相 到三角形三个顶点的距离相等 等 如图：直线 l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三 条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的? A AC C l l 1 1 l l 2 2 B B l l3 3 要求学生思考、交流。实况如下： [生]有一处．在三条公路的交点 A、B、C 组成的△ABC 三条角平分线的交点处．因为 三角形三条角平分线交于一点， 且这一点到三边的距离相等． 而现在要建的货物中转站要求 它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合． [生]我找到四处． (同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC 内部的一点外， 我认 为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC 外角的平分线交于点 P1(如下图所示)，我们 利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点 P1在∠CAB 的角平分线上，且到 l1、l2、l3 的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA 的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共 4 个， 分别是 P、P1、P2、P3 A A P P B B l l3 3 C C l l 1 1 l l 2 2 P P 1 1 3 教师讲评。 第三环节：例题讲解第三环节：例题讲解 [例 1]如图，在△ABC 中．AC=BC，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB， 垂足为 E． (1)已知 CD=4 cm，求 AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD． 分析：本例需要运用前面所学的多个定理， 而且将计算和证明融合在 一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它 们解决问题．第(1)问中，求AC 的长，需求出BC 的长，而BC=CD+DB， CD=4 cIn，而 BD 在等腰直角三角形 DBE 中，根据角平分线的性质， A A E E C CB B D D DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出 DB 的长．第(2)问中，求证 AB=AC+CD．这是我 们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE． (1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∠C=90°，DE⊥AB． ∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵∠AC=∠BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°， 1 ∴∠B=×90°=45°． 2 ∴∠BDE=90°—45°＝45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形 BDE 中 BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm． (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL 定理) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． 4 [例 2]已知：如图，P 是么 AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、 D． 求证：(1)OC=OD； (2)OP 是 CD 的垂直平分线． C C A A O O E E D D P P B B 证明：(1)P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)． 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， OP=OP，PC=PD， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL 定理)． ∴OC=OD(全等三角形对应边相等)． (2)又 OP 是∠AOB 的角平分线， ∴OP 是 CD 的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)． 思考：图中还有哪些相等的线段和角呢? 第四环节：课时小结第四环节：课时小结 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且 这一点到三角形各边的距离相等． 并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计 算和证明问题． 第五环节：课后作业第五环节：课