[高考数学]外接球问题

专题 1 外接球问题 一、单选题 1．在三棱锥S ABC 中， 2,1SASBACBCSC ，二面角SABC的大小为 60，则三棱锥S ABC 的外接球的表面积为（ ） A． 4 3  B．4 C．12 D． 52 3  2．在四面体 S—ABC 中，ABBCABBC2SASC2，，，二面角 S—AC—B 的余弦值是 3 3 ，则该四面体外接球的表面积是 （ ） A．8 6 B．6 C．24 D．6 3．有一个长方形木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则 该正四面体模型棱长的最大值为（ ） A．2 B．2 2 C．4 D．4 2 4． 三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O上，PA 平面ABC，2PA ，4AB ， 2AC  ， 2 3BC ，则球的表面积是（ ） A．16 B．20 C．24 D．28 5．已知三棱锥S ABC 的体积为 4 3 3 ，SC的中点 O 为三棱锥S ABC 外接球球心，且 SC 平面OAB，OAAB ，则球 O的体积为（ ） A．36 B． 4 3  C． 32 3  D． 9 2  6．已知球的直径 SC＝2，A，B 是该球球面上的两点，AB＝1，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱 锥S ABC 的体积为( ) A．3 B． 3 4 C． 3 3 D． 3 6 7． 在四棱锥P ABCD 中，PA 平面ABC，ABC  中， 2 3 2 BABCAC，2PA ， 则三棱锥P ABC 的外接球的表面积为( ) A．12 2 B．22 C．12 D．20 8．正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1，线段 11 B D 上有两个动点 E，F，且 1 2 EF  ， 则 ACBE① ；/ /EF②平面 ABCD；③三棱锥BAEF的体积是定值；AEF④的 面积和BEF的面积相等．以上命题中正确的是( ) A．①② B．①②④ C．①②③ D．①③④ 9． 在三棱锥P ABC 中， 已知PA 底面ABC，60BAC，2PA ，3ABAC， 若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A． 4 3  B． 8 2 3  C．8 D．12 10．已知正方体的棱长为 1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成 的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是（ ） A． 3 3 2 B．3 C．2 D． 3 3 4 11．如图， 11 ,AA BB均垂直于平面ABC和平面 111111 ,90A BCBACA BC  ， 111 2ACABAABC ，则多面体 111 ABCABC 的外接球的表面积为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 12．在三棱锥A BCD 中，AB AC ，DB DC ，4ABDB，ABBD，则三棱 锥A BCD 外接球的体积的最小值为（ ） A． 5 3 3  B． 5 2 3  C． 8 2 3  D． 8 3 3  13．在三棱锥P ABC 中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D， 1DPDC.有下列结论： ①三棱锥PABC的三条侧棱长均相等； ②PAB的取值范围是 , 4 2      ； ③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为 2 3  ； ④若ABBC，E是线段PC上一动点，则DEBE的最小值为 62 2  . 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 14． 已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上， 底面ABCD是正方形且和球心O在 同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于22 3，则球O的体积等于 （ ） A． 4 3  B． 8 3  C． 16 3  D． 22 3  15．如图，正三棱锥S ABC 中，30BSA ，2SB ，一质点自点B出发，沿着三棱 锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为( ) A．2 B．4 C．2 2 D．2 3 16． 已知三棱锥ᵄ − ᵃᵃᵃ的四个顶点均在半径为 1 的球面上， 且满足ᵄᵃ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ᵄᵃ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0， ᵄᵃ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ᵄᵃ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0， ᵄᵃ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ᵄᵃ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0，则三棱锥ᵄ − ᵃᵃᵃ的侧面积的最大值为（ ） A．1 2 B．1 C．2 D．4 17．设球O与圆锥 1 SO 的体积分别为 1 V ， 2 V ，若球O的表面积与圆锥 1 SO 的侧面积相等， 且圆锥 1 SO 的轴截面为正三角形，则 1 2 V V 的值是（ ） A． 3 3 B． 2 3 3 C． 6 3 D． 2 6 3 18．网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程， 某同学有一圆锥状的木块， 想把它“车成珠子”， 经测量， 该圆锥状木块的底面直径为12cm， 体积为 396 cm ，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是（ ）. A． 336 cm B．312 cm C．39 cm D．372 cm 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题 19．已知正四面体ABCD的棱长为2，E为棱AB的中点，过E作其外接球的截面，则截 面面积的最小值为__________． 20．已知四棱锥 P﹣ABCD 的顶点都在球 O的球面上，底面 ABCD是边长为 2的正方形，且 PA⊥面 ABCD，若四棱锥的体积为 16 3 ，则该球的体积为_____． 21．如图，四棱锥P ABCD 中，PAABCD 平面，四边形ABCD为正方形， 2PAAB，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积 是 ． 22．如图，正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运 动，平面区域W由所有满足 1 5AP  的点P组成，则W的面积是__________． 23．已知菱形 ABCD的边长为 4，且∠BAD＝60°，将△ABD沿 BD 折起，使 A、C 两点之间 的距离为 4，则所得三棱锥的外接球的表面积为_____． 24．设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45的纬度线上，且其经度差为90， 则A，B两地的球面距离是________. 25．圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥 SD 与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为__________． 26．已知四面体ABCD内接于球 O，且 2,2ABBCAC，若四面体ABCD的体积 为 2 3 3 ，球心 O恰好在棱 DA上，则球 O的表面积是_____． 27． 如图， 正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1， ,E F分别为 11 ,AA CC 的中点， 过直线EF 的平面