“双星”问题及天体的追及相遇问题

“双星”问题及天体的追及相遇问题 一、双星问题 1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、 周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。 2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。 (2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。 (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。 3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。 (2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。 (3)三个反比关系：m 1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2 推导：根据两球的向心力大小相等可得，m 1ω 2r 1＝m2ω 2r 2，即 m 1r1＝m2r2；等式 m 1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得 m 1r1ω＝m2r2 ω，即m 1v1＝m2v2；由 m 1ω 2r 1＝m2ω 2r 2直接可得，m1a1＝m2a2。 (4)巧妙求质量和：Gm1m2 L2 ＝m 1ω 2r 1① Gm 1m2 L2 ＝m 2ω 2r 2② 由①＋②得： Gm 1＋m2 L2 ＝ω2L ∴m 1＋m2＝ ω2L3 G 4. 解答双星问题应注意“两等” “两不等” (1) “两等” : ①它们的角速度相等。 ②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供， 即它们受到的向心力大小总是相等。 (2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它 们的轨道半径之和才等于它们间的距离。 ②由m 1ω 2r 1＝m2ω 2r 2知由于 m 1与 m 2一般不相等，故 r 1与 r 2一般也不相等。 二、多星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)． (3)四星模型： ①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上， 沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)． ②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上， 另一颗位于中心O， 外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)． 三、卫星的追及相遇问题 1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律： 内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为 2π的整数倍。 2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律： 内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的奇数倍。 3、对于天体追及问题的处理思路： (1)根据GMm r2 ＝mrω2，可判断出谁的角速度大； (2)根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于 2π的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于π的奇数倍。 在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。 题型一 双星规律的应用 【例题】 2017 年 6 月 15 日， 我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬 X 射线调制望远镜卫星“慧 眼”。“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国国 X 射线探测卫星的空白，实现我国 在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越。“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等 致密天体和爆发现象。在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为 L，只在彼此之间的万有 引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为 T，引力常量为 G，则双黑洞总质量为（） A. 23 2 4L GT  B. 23 2 4 3 L GT  C. 3 224 GL T D. 23 2 4T GL  【答案】A 【解析】对双黑洞中的任一黑洞： 2 12 11 2 2m m Gmr LT      得 2 2 1 2 2m Gr LT      对另一黑洞： 2 12 22 2 2m m Gmr LT      得 2 1 2 2 2m Gr LT      又 12 rrL 联立可得： 22 21 12 22 22mm GGrr LLTT      则   2 21 12 2 2mm Grr LT      即 2 2 2M GL LT      双黑洞总质量 23 2 4L M GT   。故 A 项正确。 点睛：双星模型与卫星模型是万有引力部分的典型模型，要能熟练应用。 【类题训练 1】引力波现在终于被人们用实验证实，爱因斯坦的预言成为科学真理．早在 70 年代有科学家发现高速 转动的双星，可能由于辐射引力波而使质量缓慢变小，观测到周期在缓慢减小，则该双星间的距离将（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 可能变大也可能变小 【答案】B 【解析】:双星靠相互间的万有引力提供向心力,有: 2 12 1 2 2m m Gmr rT      2 12 2 2 2m m Gmr rT      计算得出 23 12 2 4r mm GT   ,计算得出  23 12 4r T G mm    【类题训练 2】因为双星的总质量减小,周期减小,可以知道双星间距离在减小. 所以 B 选项是正确的. 若某双星系统 A 和 B 各自绕其连线上的 O 点做匀速圆周运动。已知 A 星和 B 星的质量分别为m1和m2，相距为d ， 下列说法正确的是（ ） A. A 星的轨道半径为 1 12 m d mm B. A 星和 B 星的线速度之比为m1：m2 C. 若 A 星所受 B 星的引力可等效为位于 O 点处质量为 m 的星体对它的引力，则  3 2 2 12 m m mm   D. 若在 O 点放一个质点，它受到的合力一定为零 【答案】C 【解析】 试题分析： 双星系统是一个稳定的结构， 它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动， 角速度相等， 万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解． 双星系统中两个星体做圆周运动的周期相同，即角速度相同，过程中，两者之间的引力充当向心力，故 22 12 11 122 2 2 m m Gmrmr d  ，又知道 12 rrd ，解得 2 1 12 m rd mm   ， 1 1 12 m rd mm   ，A 错误；两者的角速度相 同，故有 12 12 vv rr  ，即 112 221 vrm vrm  ，B 错误；A星受到的引力为 12 2 m m FG d ，放在O点的星体对其的引力为 1 2 1 m m FG r  ，两者等效，则有 121 22 1 m mm m GG dr  ，代入 2 1 12 m rd mm   可得  3 2 2 12 m m