《一元二次方程》培优竞赛

1 《一元二次方程》培优 【知识要点】： 1、一元二次方程的解法 （1） 法； （2） 法； （3） 法； （4） 法 2、一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式为△= ，当△0时方程有两个不相等 的实根 x1= 和 x2= ；当△=0 时有两个相等的实根 x1=x2= ； 当 △0时根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 没有实数解． 3、一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程方程 20 (0)axbxca 的两个根为 即 x1= 24 2 bbac a   ， x2= 24 2 bbac a   ， 那么： 12 xx ， 12 x x  ，此结论称为”韦达定理”，其成立的前提是0  ． 3．特别地， 以两个数根 x1和 x2为根的一元二次方程是 x2＋( x1+x2 )x＋x1.x2 = 0． 【精选题型】 ： 1、已知关于x的一元二次方程 2320 xxk ，根据下列条件，分别求出k的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根． 2 、若 12 ,x x 是方程 2220070 xx 的两个根，试求下列各式的值： (1) 22 12 xx ； (2) 12 11 xx  ； (3) 12 (5)(5)xx ； (4) 12 ||xx ． 3、已知关于 x 的方程 2 2(2)0 4 m xmx ． （1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相 异实数根； （2）若这个方程的两个实数根 x1，x2满足 x2＝x1＋2，求 m 的值及相应的 x1，x2． 2 4、已知关于 x 的方程mx2—(2m+1)x+2=0． （1）求证：无论 m 取何实数时，原方程总有实数根； （2）若原方程有两个实数根x1和x2，当 5 2 2 2 1  xx 时求 m 的值 （3）若原方程有两个实数根，能否存在一个根大于 2，另一个根小于 2 ？若存在，请求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【拓展练习】: 1．若 12 ,x x是方程 22630 xx 的两个根，则 12 11 xx  的值为( )A．2 B．2 C． 1 2 D． 9 2 2．若t是一元二次方程 20 axbxc 的根，则判别式 24bac  和完全平方式 2(2)Matb 的 关系是( )A．M  B．M  C．M  D．大小关系不能确定 3．若关于 x 的方程 mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 （ ） A． m＜ 1 4 B。m＞－ 1 4 C．m＜ 1 4 ，且m≠0 D 。m＞－ 1 4 ，且m≠0 4． 设 12 ,x x 是方程 20 xpx q  的两实根，1 2 1,1xx是关于x的方程 20 xqxp 的两实根， 则p= ___ __ ，q= _ ____ ． 5、若关于 x 的方程 x2＋x＋a＝0 的一个大于 1、另一根小于 1，求实数 a 的取值范围． 6、已知关于x的方程 230 xxm 的两个实数根的平方和等于 11，求证：关于x的方程 22(3)640kxkmxmm 有实数根． 7、若 12 ,x x 是关于x的方程 22(21)10 xkxk  的两个实数根，且 12 ,x x 都大于 1． (1) 求实数k的取值范围；（2）若 1 2 1 2 x x  ，求k的值． 8、若 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根． （1）是否存在实数 k，使(2x1 －x2)( x1－2 x2)＝－ 3 2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使 12 21 xx xx  －2 的值为 整数的实数 k 的整数值； （3）若 k＝－2， 1 2 x x  ，试求的值． 3 第一讲 一元二次方程的求根 形如0 2 cbxax（0a）的方程叫一元二次方程，两边直接开平方法、配方法、公式法、因式 分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最通用、最具有一般性的方法． 【例 1】满足 1) 1( 22nnn 的整数 n 有 个． 思路点拨： 分三类情形讨论：①指数为 0； ②底数为 1；③底数为—1． 【例 2】设 1 x、 2 x是二次方程03 2  xx的两个根，那么194 2 2 3 1  xx的值等于（ ） A． 一 4 B．8 C．6 D．0 思路点拨： 本题出现了 x 的 3 次方， 但无法用立方和差公式来解答， 如果通过解方程求出 1 x、 2 x再 代入计算，则计算繁难，因此把要求的代数式 3 次降为 2 次，再降为 1 次，这就是我们的思路。具体做 法是利用根的定义及变形，使多项式降次，因为03 1 2 1  xx ，因此有 1 2 1 3xx，同理 2 2 2 3xx． 【例 3】 解关于x的 方程02) 1( 2 aaxxa． 思路点拨：因不知晓原方程的类型，是一元一次还是一元二次，故需分01a及01a两种情况 讨论． 【例 4】 设方程0412 2 xx，求满足该方程的所有根之和． 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解． 4 学历训练 1 ． 已 知a、b是 实 数 ， 且0262ba， 那 么 关 于x的 方 程1)2( 22 axbxa的 根 为 ． 2．若两个方程0 2 baxx和0 2 abxx只有一个公共根，则( ) A．ba  B．0ba C．1ba D．1ba 3．已知a是方程02000 2  xx的一个正根。则代数式 a 2000 1 2000 1 2000 3   的值为 ． 4．解下列关于x的方程： (1)03) 12() 1( 2 mxmxm； (2) 06 2 xx ； 5．方程 011) 1(xxxx 的实根的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 6．对于方程 x2-2|x|+2=m，如果方程实根的个数恰为 3 个，则 m 值等于( ) A．1 n．2 C．3 D．2．5 7．自然数n满足 16162472 )22()22( 2   nn nnnn，这样的n的个数是( ) A．2 B．1 C．3 D．4 8．已知 m、n 是一元二次方程072001 2 xx的两个根，求 )8