§8多元函数微分法及其应用习题与答案

1 第八章 多元函数微分法及其应用 A 题 1、 填空题 1） 设  22,yxyxf ，  22,yxyxg ，则    2,,yyxgf 2） 设  yxfyxz ，且当0y时， 2xz  ，则z 3） 设  y x yyxyxfarctanarctan, 22 ，则     y x f , 0 4） 设   yaxxxz 211 ，若已知：当0x时，   2ln eyz  ，则dz 5） 设  yxfz, ，由 1 345yzxzz 所确定，则  0 , 0 x f 6） 设 2 ln x yz ，则在点  1 , 1 , 1 0 M 的法线方程为 7） 曲面 1232 222zyx 上点  1 , 2, 1 处的切平面方程为 8） 设  xzyxzyxf 2,, ，则  zyxf,, 在  1 , 0 , 1 沿方向  kjil22 的方向 导数为 2、 下列函数的定义域并图示 1) yxyx z     11 2)  221 ln yx x xyz   3) 22 arccos yx z u   2 3、 求下列各极限 1)   22 1 , 0, 1 lim yx xy yx    2)  xy xy yx 42 lim 0, 0,   3)     y xy yx sin lim 0, 2, 4、 问函数 xy xy z 2 2 2 2    在何处间断. 5、 求下列函数的偏导数 1) uv vu s 22  2)    xyxyz 2cossin 3 3) y x ztanln 4) z y xu  6、 曲线         4 4 22 y yx z 在点  5 , 4 , 2 处的切线对于x轴的倾角是多少? 7、 设  y x yxyxfarcsin1, ，求   1 , xf x . 8、 求下列函数的 2 2 x z   , 2 2 y z   , yx z  2 1) x y zarctan 2) xyz  4 9、 求下列函数的全微分 1) 22yx y z   2) yzxu  10、求函数 22yx xy z   当2x，1y，01. 0x，03. 0y时的全增量和全微分. 11、计算 3 3 93. 102. 1 的近似值. 12、已知边长为cmx6与cmy8的矩形，如果x边增加cm5而y边减少cm10，问这个 矩形的对角线的近似变化怎样？ 5 13、设 vuzln 2 ，而 y x u  ，yxv23 ，求 x z   ， y z   . 14、设  yxz arcsin ，而tx3， 34ty  ，求 dt dz . 15、设  1 2   a zye u ax ，而xaysin， xzcos ，求 dx du . 16、求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数） 1)  xyeyxfu,22 2)  xyzxyxfu,, 17、设  yyxf x zcos,3 1  ，求 x z   ， y z   . 6 18、设  22yxfz ，其中f就有二阶导数，求 2 2 x z   ， yx z  2 ， 2 2 y z   . 19、求下列函数的 2 2 x z   ， yx z  2 ， 2 2 y z   （其中f具有二阶连续偏导数） 1)          y x xfz, 2)  yxufz,, ，其中 yxeu  3)  yxeyxfz,cos,sin 20、设 y z z x ln ，求 x z   及 y z   . 7 21、设  yxzz, 由方程  0, 2xyzF 确定，求dz. 22、设  zyxx, ，  zxyy, ，  zxzz, 都是由方程  0,,zyxF 所确定的具有连续 偏导数的函数，求 x z z y y x         . 23、设  zyxzyx3232sin2 ，计算 y z x z      . 24、求下列方程组所确定函数的导数或偏导数 1)设      1 0 222zyx zyx 求 dz dx ， dz dy 2)设        vuey vuex u u cos sin 求 x u   ， y u   ， x v   ， y v   8 25、求曲线 mxy2 2 ，xmz 2 在点  000 ,,zyx 处的切线和法线方程. 26、求出曲线 tx  ， 2ty  ， 3tz  上的点，使在该点的切线平行于平面42zyx. 27、求椭球面 12 222zyx 上平行于平面02 zyx的切平面方程. 28、求函数 22yxz 在点  2 , 1 处沿从点  2 , 1 到点  32 , 2 的方向的方向导数. 29、求函数 222zyxu 沿曲线 tx  ， 2ty  ， 3tz  在点  1 , 1 , 1 处的切线正方向（对 应于t增大的方向）的方向导数. 30、设  zyxxyzyxzyxf62332,, 222 ，求  0 , 0 , 0gradf 及  1 , 1 , 1gradf . 9 31、问函数 zxyu 2 在点  2 , 1, 1P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大 值. 32、求函数   yyxeyxf x2,22 的极值. 33、求函数xyz 在适合条件1 yx下的极大值. 34、 欲选一个无盖的长方形水池， 已知底部造价为每平方米a元， 侧面造价为每平方米b元， 现用A元造一个容积最大的水池，求它的尺寸. 35、要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面 积最小. 36、在平面xoy上求一点，使它到0x，0y及0162yx三直线的距离平方之和 为最小. 10 B 题 1、 填空题 1) 设  xy yx z    22arcsin ，其定义域为 2) 设           00 0 sin , 2 xy xy xy yx yxf ，则   1 , 0 x f 3) 已知函数  22,yxyxyxfz ，则       y z x z 4) 函数  z y x zyxf 1 ,,         ，则   1 ,