_连续与一致连续典型例题
第三讲 连续与一致连续 一 内容提要 1.函数在一点的连续性 若 函 数)(xf在 0 x 处 的 邻 域 内 有 定 义 ,)(xf在 点 0 x 连 续 0lim 0 y x )()(lim 0 0 xfxf xx )lim()(lim 00 xfxf xxxx , 0, 0 使得 0 0:xxx ,有 )()( 0 xfxf . 注 1 若 )()(lim 0 0 xfxf xx ,则称函数)(xf在 0 x 右连续;若 )()(lim 0 0 xfxf xx ,则称函 数)(xf在 0 x 左连续. )(xf在点 0 x 连续 )(lim 0 xf xx )()(lim 0 0 xfxf xx . 注 2 设)(xf定义于区间I, Ix 0 ,则)(xf在 0 x 连续的充要条件是 Ixxxxx n n nnn ,|}{}{ 0 ,有 )()(lim 0 xfxf n n 称之为连续的海涅归结原则. 注 3 初等函数在有定义的地方处处连续. 2.间断点的分类 若函数)(xf在 0 x 处的某个空心邻域内有定义,)(xf在点 0 x 处无定义,或)(xf在点 0 x 有 定义而不连续,则称点 0 x 为函数)(xf的间断点. 第一类间断点 (1)可去间断点: )0( 0 xfAxf)0( 0 ,)(xf在点 0 x 处无定义,或有定义但 Axf)( 0 . (2)跳跃间断点: )0( 0 xf)0( 0 xf . 第二类间断点 )0( 0 xf , )0( 0 xf 中至少有一个不存在. 3.连续函数的局部性质 (1)若函数)(xf在点 0 x 连续,则0,M ,使得 0 0:xxx ,有Mxf)(. (2)若函数)(xf在点 0 x 连续,且 )( 0 xf,则0,使得 0 0:xxx ,有 )(xf . (3)四则运算:若函数)(xf,)(xg均在点 0 x 连续,则 )(xf)(xg, )(xf)(xg, )( )( xg xf (0)(xg)在点 0 x 连续. (4)若函数)(xf在点 0 x 连续,)(xg在点 0 u 连续,且)( 00 xfu ,则 )(lim 0 xfg xx )(lim 0 xfg xx )( 0 xfg 即函数 )(xfg 在点 0 x 连续. (会证明) 4 闭区间上连续函数的整体性质 (1)有界性定理:若)(xf在],[ba上连续,则)(xf在],[ba上有界. (2) 最值定理: 若)(xf在],[ba上连续, 则)(xf在],[ba上能取得最大值M和最小值m. (3) 介值定理: 若)(xf在],[ba上连续, 则],[),(ba ,)(xf可取介于)(f与)(f 之间的一切值. (4)零点定理:若)(xf在],[ba上连续,且0)()(bfaf,则在区间),(ba内至少存在 一点,使得0)( f . 注 1 闭区间上连续函数的整体性质在整个分析理论中具有重要性. 注 2 介值定理和零点定理是讨论方程0)(xf的根的重要工具. 5 一致连续性 设函数)(xf在区间I上有定义,若对 , 0)(, 0 使得 Ixx 21 , ,只要 21 xx ,就有 )()( 21 xfxf ,则称)(xf在I上一致连续. 注 1 )(xf在区间I上一致连续 , 0)(, 0 使得 Ix 0 ,只要 0 xx ,就有 )()( 0 xfxf . 注 2 一致连续定义中的是对整个区间I适用的,即只信赖于,而于 21 ,xx 的位置无 关, 不论 21 ,xx 在I的什么位置, 只要 1 x 与 2 x 接近到同一程度, 其函数值)( 1 xf 与)( 2 xf 就 能接近到要求的程度,这表明函数)(xf在I的“连续程度”是一致的、均匀的. 注 3 )(xf在区间I上非一致连续 , 0, 0 0 总存在 Ixx , ,使得 xx ,但 0 )()( xfxf . 注 4 )(xf在区间I上一致连续对任何数列 Ixx nn , ,若 0lim nn x xx ,则有 0lim nn x xfxf . 称之为函数一致连续的 Heine 归结原则. 注 5 )(xf在],[ba上连续,则函数)(xf必定是一致连续的. 注 6 若)( 1 xf)(, 2 xf在I上均一致连续,则函数)( 1 xf)( 2 xf在I上一致连续,特别的, 若I为有限区间,则)( 1 xf)( 2 xf, )( )( 2 1 xf xf 0)( 2 xf在I上一致连续. 注 7 有关一致连续的几个重要结论: (1)满足 Lipschitz 条件的函数)(xf在I上一定一致连续. (2)),[)(aCxf,且单调有界,则)(xf在区间),[a上一致连续. (3)),[)(aCxf,且 )(limxf x 存在,则)(xf在区间),[a上一致连续. (4)若)(x f 在区间I上有界,则)(xf在区间I上一致连续. (5)),()(baCxf,)(xf在),(ba上一致连续 )(limxf ax 与 )(limxf bx 存在. 二、典型例题 例 用定义讨论下面函数在所给区间的连续、一致连续性: (1) x xf 1 )(,) 1 , 0(x; (2) x xf 1 sin)(, (ⅰ)), 0( x,(ⅱ)) 1 ,(cx; (3) 2)(xxf , (ⅰ)),(x, (ⅱ)),(bax; (4) 2sin)(xxf , (ⅰ)),(x, (ⅱ)),(bax; (5)xxf)(,), 0[ x; (6)xxfcos)(,), 0[ x. 例 设函数)(xf只有可去间断点,定义)(lim)(yfxg xy ,证明:)(xg为连续函数. 例 设)(xf在0x连续,且对Ryx ,,有)()()(yfxfyxf. 证明: (1))(xf在R上连续; (2)xfxf) 1 ()(; (3))(xf在R上一致连续. 例 证明 QRx Qxx xf , 0 ,sin )( 在整数点处处连续,在其他点处间断. 证明:Qx且为整数时,有0sin)( kkf (, 2, 1, 0k) . 例 讨论 xt x xt x t xf sinsin sin sin lim)( 的间断点类型. 例 设)(xf在),(上连续,)(limxf x 存在且为A,证明: