_连续与一致连续典型例题

第三讲 连续与一致连续 一 内容提要 1.函数在一点的连续性 若 函 数xf在 0 x 处 的 邻 域 内 有 定 义 ，xf在 点 0 x 连 续 0lim 0   y x lim 0 0 xfxf xx   limlim 00 xfxf xxxx , 0, 0 使得  0 0xxx ，有  0 xfxf ． 注 1 若 lim 0 0 xfxf xx    ，则称函数xf在 0 x 右连续；若 lim 0 0 xfxf xx    ，则称函 数xf在 0 x 左连续． xf在点 0 x 连续 lim 0 xf xx   lim 0 0 xfxf xx    ． 注 2 设xf定义于区间I， Ix  0 ，则xf在 0 x 连续的充要条件是         Ixxxxx n n nnn ,|}{}{ 0 ，有 lim 0 xfxf n n   称之为连续的海涅归结原则． 注 3 初等函数在有定义的地方处处连续． 2．间断点的分类 若函数xf在 0 x 处的某个空心邻域内有定义，xf在点 0 x 处无定义，或xf在点 0 x 有 定义而不连续，则称点 0 x 为函数xf的间断点． 第一类间断点 （1）可去间断点 0 0 xfAxf0 0 ，xf在点 0 x 处无定义，或有定义但 Axf 0 ． （2）跳跃间断点 0 0 xf0 0 xf ． 第二类间断点 0 0 xf ， 0 0 xf 中至少有一个不存在． 3．连续函数的局部性质 （1）若函数xf在点 0 x 连续，则0,M  ，使得  0 0xxx ，有Mxf． （2）若函数xf在点 0 x 连续，且  0 xf，则0，使得 0 0xxx ，有 xf ． （3）四则运算若函数xf，xg均在点 0 x 连续，则 xfxg， xfxg， xg xf （0xg）在点 0 x 连续． （4）若函数xf在点 0 x 连续，xg在点 0 u 连续，且 00 xfu ，则   lim 0 xfg xx        lim 0 xfg xx  0 xfg 即函数  xfg 在点 0 x 连续． （会证明） 4 闭区间上连续函数的整体性质 （1）有界性定理若xf在],[ba上连续，则xf在],[ba上有界． （2） 最值定理 若xf在],[ba上连续， 则xf在],[ba上能取得最大值M和最小值m． （3） 介值定理 若xf在],[ba上连续， 则],[,ba  ，xf可取介于f与f 之间的一切值． （4）零点定理若xf在],[ba上连续，且0bfaf，则在区间,ba内至少存在 一点，使得0 f ． 注 1 闭区间上连续函数的整体性质在整个分析理论中具有重要性． 注 2 介值定理和零点定理是讨论方程0xf的根的重要工具． 5 一致连续性 设函数xf在区间I上有定义，若对 , 0, 0 使得 Ixx 21 , ，只要  21 xx ，就有  21 xfxf ，则称xf在I上一致连续． 注 1 xf在区间I上一致连续 , 0, 0 使得 Ix  0 ，只要  0 xx ，就有  0 xfxf ． 注 2 一致连续定义中的是对整个区间I适用的，即只信赖于，而于 21 ,xx 的位置无 关， 不论 21 ,xx 在I的什么位置， 只要 1 x 与 2 x 接近到同一程度， 其函数值 1 xf 与 2 xf 就 能接近到要求的程度，这表明函数xf在I的“连续程度”是一致的、均匀的． 注 3 xf在区间I上非一致连续 , 0, 0 0  总存在 Ixx  , ，使得  xx ，但 0  xfxf ． 注 4 xf在区间I上一致连续对任何数列   Ixx nn    , ，若  0lim   nn x xx ，则有    0lim   nn x xfxf ． 称之为函数一致连续的 Heine 归结原则． 注 5 xf在],[ba上连续，则函数xf必定是一致连续的． 注 6 若 1 xf, 2 xf在I上均一致连续，则函数 1 xf 2 xf在I上一致连续，特别的， 若I为有限区间，则 1 xf 2 xf， 2 1 xf xf  0 2 xf在I上一致连续． 注 7 有关一致连续的几个重要结论 （1）满足 Lipschitz 条件的函数xf在I上一定一致连续． （2）,[aCxf，且单调有界，则xf在区间,[a上一致连续． （3）,[aCxf，且 limxf x 存在，则xf在区间,[a上一致连续． （4）若x f  在区间I上有界，则xf在区间I上一致连续． （5）,baCxf，xf在,ba上一致连续 limxf ax   与 limxf bx   存在． 二、典型例题 例 用定义讨论下面函数在所给区间的连续、一致连续性 （1） x xf 1 ， 1 , 0x； （2） x xf 1 sin， （ⅰ）, 0 x,（ⅱ） 1 ,cx； （3） 2xxf ， （ⅰ）,x， （ⅱ）,bax； （4） 2sinxxf ， （ⅰ）,x， （ⅱ）,bax； （5）xxf，, 0[ x； （6）xxfcos，, 0[ x． 例 设函数xf只有可去间断点，定义limyfxg xy ，证明xg为连续函数． 例 设xf在0x连续，且对Ryx ,，有yfxfyxf． 证明 （1）xf在R上连续； （2）xfxf 1 ； （3）xf在R上一致连续． 例 证明       QRx Qxx xf , 0 ,sin  在整数点处处连续，在其他点处间断． 证明Qx且为整数时，有0sin kkf （, 2, 1, 0k） ． 例 讨论 xt x xt x t xf sinsin sin sin lim         的间断点类型． 例 设xf在,上连续，limxf x 存在且为A，证明