§12复变函数的积分柯西定理

16 第三章 复变函数的积分 §3-1 复变函数的积分 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P29-31】 复变函数积分的定义： 设C为复平面上以 0 z 为起点，而以 z  为终点的一段路径（即一根曲线） ，在C 上取一系列分点 011 ,,,, nn zzzzz   把C分为n段，在每一小段[ 1kk zz  ] 上任取一点 k  作和数：  1 11 nn nkkkkk kk Sfzzfz     , 其中 1kkk zzz   如果当 n   且每一小段的长度 （ 1 || || kkk zzz   ） 趋于零时， 和式  1 n kk k fz    的极限存在，并且其值与 k z 及 k  的选取方式无关，则称这一极限为   fz 沿 路径C由 0 z 到 z  的积分:   1 limlim n nkk Cnn k fzd zSfz        ， C 称为积分路径（   fz 在C上取值，即 z 在C上变化） 。 若C为围线（闭的曲线） ，则积分记为：   C fz dz  . (围道积分) 几点说明： 1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。(与我们以 前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。) 17 2．因为 zxiy，dzdxidy，   ,,fzux yiv x y，于是    ,, CC fz dzux yivx ydxidy    ,,,, CC u x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy     ， 所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复 变函数积分的实部和虚部。 3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简 单性质： （1） 0 C d zzz ， z  、 0 z 分别为C之起点、终点。 （2）      11221122 CCC a fza fzdzafz dzafz dz   ， 1 a 、 2 a 为复常数。 （3）     12 CCC fz dzfz dzfz dz , 其中积分路径C由路径 1 C 、 2 C 连接 而成。 （4）  CC fzdzfzdz    , C  表示与C方向相反的同一条曲线。 4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C的两端点重合（即C为自身不相 交的封闭曲线） ，则计算积分   C fz dz  时必须先规定积分路径的环绕方向 （因为：    CC fzdzfzdz    ） 。 以后凡遇围道积分，如 不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。 ( C 为逆 时钟方向，C代表顺时钟方向) 18 例： 试证  21) 0(1) n l in dz nn za          （ 为的 整 数 ，l为以z a 为圆心，  为半径的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向） 。 证：l的参数方程为 i zae     ， 在l上， i dzie d   。 当 1n  时， 2 i i l d zied idi zae            。 当 n 为 1n  的整数时，   1 1 i i n nninn l dziedi ed e za                 1 1 1 1 i n n e n             11 1 1 110 1 nn n n        。 19 §3-2 柯西定理及其推广 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P31-36】 柯西定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系，与涉及的区域有关。 单连通区域内任一闭曲线可连续收缩为一点，简而言之区域内没“空洞” 。 复连通区域（或称多连通区域）内至少有一闭曲线不能连续收缩为一点， 简而言之区域内有“空洞” 。 (一) 单连通区域中的柯西定理 若 fz在单连通区域 D 内解析，l是D内的任一围线（闭合曲线） ， 则:   0 l fzd z  。 证明： 由于   fz 在 D 上解析， 意味着   fz 在 D 上各点均存在，实部u、 虚部v有连续偏导数（即 u x   、 v x   、 u y   、 v y   在 D 上连续）并满足 C-R 条件。   ,,fzux yiv x y，dz dxidy ， 20   lll fz dzudxvdyivdxudy 。 由于实部 u 、虚部v满足 C-R条件， uv xy    ， uv yx     , 而由实变函数线积分的格林定理：  0 l D vu udxvdydxdy xy        ， D 为l所围单连通区域（C－R 条件）  0 l D uv vdxudydxdy xy        ， D 为l所围单连通区域（C－R 条件）   0 l fz dz  。 定义：函数   fz 在闭区域  D 内解析, 是指   fz 在区域D内以及它的边界 l 上的每一点都是解析的. ( 闭区域  D : DDl   ) 。 一种等价的说法： 如果函数   fz 在包括区域 D 和它的边界在内的更大一些 的区域内解析，就称它为在闭区域  D 内解析。 单连通区域中柯西定理的另外一种表述： 如果函数   fz 在闭曲线l所围的闭单连通区域内解析，则函数   fz 沿 闭曲线l的积分等于零:   0 l fz dz   。 21 柯西定理的几个推论： （1） 在   fz 解析的单连通区域内，   fz 沿任一曲线l的积分， 只依赖于l的 起点和终点，而与l的具体形状无关。即若   fz 在单连通区域 D 内解析， 1 l 、 2 l 是 D 内有相同端点的任意两条曲线，则:    12 ll fz dzfz dz。 证明：因为 1 l 、 2 l 的端点相同，所以 1 l 与 2 l 组成一围线。由柯西定理：   12 0 ll fz dz        122 lll fz dzfz dzfz dz   。 （2）当积分的端点不动，而积分路线在   fz 解析的区域内连续地变形时， 积分之值不变； （3）沿闭合回路的积分，当积分回路在 