§171格林公式及曲线积分与路径无关的条件

第十七章 各类积分的联系 回顾: 一元函数积分学:)()()( aFbFdxxF b a  §17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件 一、格林公式 概念:单连通区域, 复连通区域; 正向; 格林定理:设闭区域 2RD ,是由有限多条分段光滑的闭曲线所围成. 函数),(),,(yxQyxP在 D 上具连续的一阶偏导,则有 d y P x Q QdyPdx D )(        (格林公式) 其中是取正向 记: 图示 光设 D(既是 X 型又是 Y 型)即穿过区域 D 内部且平行于坐 标轴的直线与 D 的边办曲的交点恰两点 . 设 D:bxa, )()( 21 xyx  dxxxPxxPdy y yxP dxdxdy y P b a b a x x D       )(,)(, ),( 12 )( )( 2 1     dxxxPxxPdxxxPdxxxPPdxPdxPdx b a a b b a   )(,)(,)(,)(, 2121 12  因此      Pdxdxdy y P D 设 D:dyc )(2)(1yy x 类似可证      D Qdydxdy x Q 即得格林公式 例 1:计算曲线积分ydxxdyxy 22  :(1) 222ayx 逆时针 (2) 222ayx 上半部分,x轴,逆 解:yxP 2 2xyQ 2x y P    2y x Q    由 Green 公式 (1)uadrrddxyydxxdyxy a D   4 2 00 32222 2 )(    计算曲线积分 (2) 4 0 3 0 2222 4 )(adrrddxyydxxdyxy a D      例 2:计算椭圆1 2 2 2 2  b y a x 所围面积 A. 解: :常数方程 taxcos tbysin  abdttatbtbtaydxxdyA    2 0 )sin(sincoscos 2 1 2 1 例 3:计算     22yx ydxxdy I,其中是 (1)使所含区域 D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向 (2) 含原点但不径原点 解: 22yx y P   22yx x Q   222 22 )(yx xy y p x        (1) 满足 Green Th 连续条件      D d yx ydxxdy I00 22  (2) 不满足 Green Th 连续条件 选取适当小的0,作圆周: 222 yx(使全部含于所围区域) 记围成 D, 于是在 1 D内, 格林公式成立        00 1 D d 故        2222yx ydxxdy yx ydxxdy 法一:右式   2)sin(cos 2 sin,cos 2 0 2  d yx 学数方程 法二:右式   222 22 11 22    yx G dydxxdy  公式 二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件 概念:曲线积分  QdyQdx与路径无关:   12 QdyPdxQdyPdx 图示 (且公与 BA yy ,有关) 定理:),(),,(yxQyxP和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价. (1) x Q y P      Dyx),( (2)  0QdyPdx D 分段光滑闭曲线 (3)积分   AB QdyPdx在 D 内与路径无关,公与 A,B 位置有关 (4)存在单值函数),(yxuu , Dyx),( 使它全微分 QdyPdxdy y u dx x u du       即P x u    Q y u    证明:同证)2() 1 (, ) 3()2( 下证) 1 ()4(, )4()3(, ) 1 ()4( 存在函数),(yxu 使 dyyxQdxyxPdu),(),( 则 ),(yxP x u    ),(yxQ y u    于是 y P yx u     2 x Q xy u     2 由条件 xy u yx u      22 (连续) 故 x Q y P      )4()3( 曲线积分   AB QdyPdx 仅与 ),( 00 yxA,),(yxB有关, 记  ),( ),( 00 ),( yxB yxA QdyPdxyxu (说明右式是yx,函数) 下证 P x u    Q y u    x yxuyxxu x u x       ),(),( lim 0 x QdyPdxQdyPdx yxx yx yx yx x       ),( ),( ),( ),( 0 0000lim x dxyxP x QdyPdx xx x x yxx yx x           ),( limlim 0 ),( ),( 0 ),(),(lim ),( lim 1 yxPyP x xyP xx Th连续中值                    ),(),(lim ),( lim 0010 yxPyxxP x xyxxP xx    同理, ),(yxQ y u    故 QdyPdxdy y u dx x u du       推出公式: 图示 CBACAB  AC: 0 yy  10 xxx 0dy CB: 1 xx  10 yyy 0dx 曲线积分计算公式dyyxQdxyxPQdyPdxQdyPdx y y yxB yxA x x AB ),(),( 1 0 11 00 1 2 1 ),( ),( 0   原函数计算公式CdyyyQdxyxPCQdyPdxyxu y y yx yx x x Th ),(),(),( 0000 0 ),( ),( 0 过程 特D)0 , 0(  xy CdyyxQdxxPyxu 00 ),()0 ,(),( 可证 ),(),(),( 0011 ),( ),( 11 00 yxuyxuyxuQdyPdxQdyPdx AB yxB yxA B A   ------