§171格林公式及曲线积分与路径无关的条件

第十七章 各类积分的联系 回顾 一元函数积分学 aFbFdxxF b a  17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件 一、格林公式 概念单连通区域, 复连通区域; 正向; 格林定理设闭区域 2RD ,是由有限多条分段光滑的闭曲线所围成. 函数,,,yxQyxP在 D 上具连续的一阶偏导,则有 d y P x Q QdyPdx D        格林公式 其中是取正向 记 图示 光设 D既是 X 型又是 Y 型即穿过区域 D 内部且平行于坐 标轴的直线与 D 的边办曲的交点恰两点 . 设 Dbxa, 21 xyx  dxxxPxxPdy y yxP dxdxdy y P b a b a x x D       ,, , 12 2 1     dxxxPxxPdxxxPdxxxPPdxPdxPdx b a a b b a   ,,,, 2121 12  因此      Pdxdxdy y P D 设 Ddyc 21yy x 类似可证      D Qdydxdy x Q 即得格林公式 例 1计算曲线积分ydxxdyxy 22  1 222ayx 逆时针 2 222ayx 上半部分,x轴,逆 解yxP 2 2xyQ 2x y P    2y x Q    由 Green 公式 1uadrrddxyydxxdyxy a D   4 2 00 32222 2    计算曲线积分 2 4 0 3 0 2222 4 adrrddxyydxxdyxy a D      例 2计算椭圆1 2 2 2 2  b y a x 所围面积 A. 解 常数方程 taxcos tbysin  abdttatbtbtaydxxdyA    2 0 sinsincoscos 2 1 2 1 例 3计算     22yx ydxxdy I,其中是 1使所含区域 D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向 2 含原点但不径原点 解 22yx y P   22yx x Q   222 22 yx xy y p x        1 满足 Green Th 连续条件      D d yx ydxxdy I00 22  2 不满足 Green Th 连续条件 选取适当小的0,作圆周 222 yx使全部含于所围区域 记围成 D, 于是在 1 D内, 格林公式成立        00 1 D d 故        2222yx ydxxdy yx ydxxdy 法一右式   2sincos 2 sin,cos 2 0 2  d yx 学数方程 法二右式   222 22 11 22    yx G dydxxdy  公式 二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件 概念曲线积分  QdyQdx与路径无关   12 QdyPdxQdyPdx 图示 且公与 BA yy ,有关 定理,,,yxQyxP和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价. 1 x Q y P      Dyx, 2  0QdyPdx D 分段光滑闭曲线 3积分   AB QdyPdx在 D 内与路径无关,公与 A,B 位置有关 4存在单值函数,yxuu , Dyx, 使它全微分 QdyPdxdy y u dx x u du       即P x u    Q y u    证明同证2 1 , 32 下证 1 4, 43, 1 4 存在函数,yxu 使 dyyxQdxyxPdu,, 则 ,yxP x u    ,yxQ y u    于是 y P yx u     2 x Q xy u     2 由条件 xy u yx u      22 连续 故 x Q y P      43 曲线积分   AB QdyPdx 仅与 , 00 yxA,,yxB有关, 记  , , 00 , yxB yxA QdyPdxyxu 说明右式是yx,函数 下证 P x u    Q y u    x yxuyxxu x u x       ,, lim 0 x QdyPdxQdyPdx yxx yx yx yx x       , , , , 0 0000lim x dxyxP x QdyPdx xx x x yxx yx x           , limlim 0 , , 0 ,,lim , lim 1 yxPyP x xyP xx Th连续中值                    ,,lim , lim 0010 yxPyxxP x xyxxP xx    同理, ,yxQ y u    故 QdyPdxdy y u dx x u du       推出公式 图示 CBACAB  AC 0 yy  10 xxx 0dy CB 1 xx  10 yyy 0dx 曲线积分计算公式dyyxQdxyxPQdyPdxQdyPdx y y yxB yxA x x AB ,, 1 0 11 00 1 2 1 , , 0   原函数计算公式CdyyyQdxyxPCQdyPdxyxu y y yx yx x x Th ,,, 0000 0 , , 0 过程 特D0 , 0  xy CdyyxQdxxPyxu 00 ,0 ,, 可证 ,,, 0011 , , 11 00 yxuyxuyxuQdyPdxQdyPdx AB yxB yxA B A   ------