§63厄米算符的对易关系

§6 - 3 厄米算符的对 易关系 一 算符的一般运算规则和对易式 1 、 算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 I . (6. 42) 2 ) 算符 A ˆ 和 B ˆ 相等 如果对于任意的波函数,都有 695 BA ˆˆ  , 则有 BA ˆˆ . (6. 43) 3 ) 算符 A ˆ 与 B ˆ 之和BA ˆˆ  对于任意的波函数，有  BABA ˆˆ ) ˆˆ ( . (6. 44) 显然： ABBA ˆˆˆˆ , (满足交换律) CBACBA ˆ ) ˆˆ () ˆˆ ( ˆ , 696 (满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性 算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄米 算符。 4 ) 算符 A ˆ 与 B ˆ 之积 B A ˆ ˆ 对于任意的波函数，有 )ˆ ( ˆ ) ˆˆ (BABA. (6. 45) 697 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算 符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即 0 ˆˆˆˆ ABBA. ● 对易式的定义 ABBABAˆˆˆˆ ] ˆ , ˆ [. (6. 46) 若0] ˆ , ˆ [BA，则称算符 A ˆ 与 B ˆ 对易； 若 ] ˆ , ˆ [BA  0，则称算符 A ˆ与 B ˆ 不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算 698 符， 除非这两个厄米算符可对易。 具体 而言，若 AAˆˆ   ， BBˆˆ   ，则有 ABABBA ˆˆˆˆ ) ˆˆ (  , (6. 47) 只有当0 ] ˆ , ˆ [BA或BAAB ˆˆˆˆ 时，才有 BABA ˆˆ ) ˆˆ (  , 这时两个厄米算符 A ˆ 与 B ˆ 的积 B A ˆ ˆ 才是厄 米算符。 ● 对易式满足下列恒等式： ] ˆ , ˆ [] ˆ , ˆ [] ˆˆ , ˆ [CABACBA , ] ˆ , ˆ [ ˆˆ ] ˆ , ˆ [] ˆˆ , ˆ [CABCBACBA, 699 (6. 48) ] ˆ , ˆ [ ˆˆ ] ˆ , ˆ [] ˆ , ˆˆ [CBABCACBA. 3、 逆算符 1ˆ A 若由  A ˆ 能够唯一地解出， 则有 1ˆ A  . 若算符 A ˆ 的逆算符 1ˆ A 存在，则有 IAAAA ˆˆˆˆ11 . 可以证明，若 A ˆ 与 B ˆ 的逆算符均存在，则 有 111ˆˆ ) ˆˆ (  ABBA . 700 (6. 49) 二 学的基量子力本对易式 1、 动量算符的各个分量之间可对易 0]ˆ,ˆ[ yx pp, 0]ˆ,ˆ[ zy pp , 0]ˆ,ˆ[ xz pp. 由 坐 标 表 象 中 的 动 量 算 符 为 i ˆ p 立即可证. 2、 量子力学的基本对易式（位置算符和动量 701 算符各分量之间的对易式，重要！）   i],[px , (6.50) 其中zyx,,,或 1, 2, 3， 这里用了克 罗内克符号 1 , 0 .         . 可见，动量算符的各个分量只与位置算符 的不同分量对易 0]ˆ,[ y px , 0]ˆ,[ z px , 0]ˆ,[ x py, 0]ˆ,[ z py , 0]ˆ,[ x pz, 0]ˆ,[ y pz ; 702 动量算符的相同分量之间是不可对易的 i]ˆ,[]ˆ,[]ˆ,[ zyx pzpypx . 凡与经典力学量相对应的力学量之间 的对易关系，均可由此导出。显然，克普朗 常量在力学量的对易关系中起着关键性 的作用。 证明: 考虑坐标算符x和动量算符的x分量 x p ˆ . 对于任一波函数，有  x xpx x   iˆ, 703  x xx x xpx      ii)(iˆ . 将以上两式相减，得 i)ˆˆ(xppx xx . 由于 是体系的任意波函数，所以有 iˆˆxppx xx . 其它等式与此类似证明。（典型证法，要掌握） 三 角动量算符各分量之间的对易式 1、角动量算符各分量之间 704 (6. 51) 2、角动量算符平方与各分量之间 ),,(. 0]ˆ , ˆ [ 2 zyxLL  . (6. 52) 3、角动量算符各分量与空间坐标分量 之间 0]ˆ , ˆ [ xx LL , 0] ˆ , ˆ [ yy LL , 0] ˆ , ˆ [ zz LL , zyx LLL ˆ i] ˆ , ˆ [ , xzy LLL ˆ i] ˆ , ˆ [ ， yxz LLL ˆ i] ˆ , ˆ [ 705 0], ˆ [xLx , zyLx i], ˆ [ , yzLx i], ˆ [ , zxLy i], ˆ [ , 0], ˆ [yLy , xzLyi], ˆ [ , （6. 53） yxLz i], ˆ [ , xyLzi], ˆ [ , 0], ˆ [zLz . 由以上各式可以归纳出以下规则： 从左到右， 以 xzyx 依次循环指标为正，任一指标“错 位”则为负，相同指标则为零。 4、角动量算符各分量与动量坐标分量 之间 有类似（6. 53）的关系。 706 5、若令 yx LLL ˆ i ˆˆ   , (6. 54) 则有  LLLz ˆ ] ˆ , ˆ [, (6. 55) z LLL ˆ 2] ˆ , ˆ [  . (6. 56) [例题 21. 2 ] 试证明对易式 zyLx i], ˆ [ .（要 掌握） [证明] 利用基本对易式(21. 66)和对易式恒 707 等式(21. 64)，可以得到 ],ˆˆ[],ˆ [ypzpyyL yzx  ],ˆ[],ˆ[ypzypy yz  yyzz pyzypzpyyypyˆ],[],ˆ[ˆ],[],ˆ[ ],ˆ[ypz y  zi . [例题 21. 3] 试证明角动量算符三分量之间 的对易式(21. 67) （要掌握）。 [解] 利用基本对易式(21. 66)和对易式恒等 式(21. 64)，可以得到 708 xyyxyx LLLLLL ˆˆˆˆ ] ˆ , ˆ [ )ˆˆ( )ˆˆ()ˆˆ( )ˆˆ( yzzxzxyz pzpypxpzpxpzpzpy zyxyzzxz pxpzpzpzpxpypzpyˆˆˆˆˆˆˆˆ yzzzyxzx pzpxpypxpzpzpypzˆˆˆˆˆˆˆˆ yzxzyzxz pxzppypzpxpzpyzpˆˆˆˆˆˆˆˆ )ˆˆ( )ˆ