§7用Mathematica求偏导数与多元函数的极值练习参考解答
§10 用 Mathematica求偏导数与多元函数的极值练习参考解答 1 求下列函数的偏导数。 (1) 22 1 yx z (2) xyez (3) z x x z x y u (4) zxyu)( 2 求下列函数的偏导数或导数。 (1) 设 xeyxyarctgz),(，求 dx dz 。 (2) 设),ln(xyxz 求 yx z 2 3 ， 2 3 xy z (3) 设,23,,ln 2vuy v u xyxz求 u z ， v z 。 (4) 设),( z y y x fu ，求 z u ， y u ， x u 。 (5) 设),,( y x xyyxfz，求 xyxxx zzz,,。 3 求下列方程所确定的隐函数的导数。 (1) 043 322yxyx，求 dx dy 。 (2) 02 zxyeze，求 x z ， y z 。 (3) ),,(xyzzyxfz求 x z ， y x ， y z 。 (4) axyxazyx 222222,，求 dx dy ， dx dz 。 4 求函数61065),( 22yxyxyxf的极值。 5 求函数 22yxz，在}4| ),{(22 yxyx范围内的最大最小值。 练习参考解答 1 求下列函数的偏导数。 (1) 22 1 yx z (2) xyez (3) z x x z x y u (4) zxyu)( 解 (1) In[1]:= D[1/Sqrt[x^2+y^2,x] In[2]:= D[1/Sqrt[x^2+y^2,y] Out[1]= 2/322)(yx x Out[2]= 2/322)(yx y (2) In[3]:= D[E^(x*y),x] In[4]:= D[E^(x*y),x] Out[3]= yexy Out[4]= xexy (3) In[5]:= D[y/x+z/x-x/z,x] In[6]:= D[y/x+z/x-x/z,y] In[7]:= D[y/x+z/x-x/z,z] Out[5]= 22 1 z z zx y Out[6]= x 1 Out[7]= 2 1 z x x (4) In[8]:= D[(x*y)^z,x] In[9]:= D[(x*y)^z,x] In[10]:= D[(x*y)^z,z] Out[8]= zxyy z1)( Out[9]= zxyx z1)( Out[10]= ][)(xyLogxy z 2 求下列函数的偏导数或导数。 (1) 设 xeyxyarctgz),(，求 dx dz 。 解 In[1]:= y[x_]:E^x; z[x_,y_]:=ArcTan[x*y]; D[z[x,y],x] Out[1]= 221yx y (2) 设),ln(xyxz 求 yx z 2 3 ， 2 3 xy z 解 In[1]:= z[x_,y_]:=x*Log[x*y]’ D[z[x,y],{x,2},y]; Simplify[%] D[z[x,y],x,{y,3}]; Simplify[%] Out[1]= 322 222 )1 ( )3(2 yx yxxy 422 4642 )1 ( )6(6 yx yxxx (3) 设,3,1,sin 3vuy u v xyxz求 u z ， v z 。 解 In[1]:= x[u_,v_]:=1-v/u; y[u_,v_]:=u+3v; z[x_,y_]:=x[u,v]^2*Sin[y[u,v]]; D[z[x,y],u]; Simplify[%] D[z[x,y],v]; Simplify[%] Out[1]= 3 222])3[)(2]3[)()(( u vuSinvuvuCosvuuvu 2 22])3[2]3[)(3)(( u vuSinvuCosvuvu (4) 设),( z y y x fu ，求 z u ， y u ， x u 。 解 In[1]:= u[x_,y_,z_]:=f[x/y,y/z]; D[u[x,y,z],x] D[u[x,y,z],y] D[u[x,y,z],z] Out[1]= y z y y x f],[ )0, 1( 2 )0, 1()1 , 0(],[],[ y z y y x xf z z y y x f 2 )1 , 0(],[ z z y y x yf (5) 设),,( y x xyyxfz，求 xyxxx zzz,,。 解 In[1]:= z[x_,y_]:=f[x+y,x*y,x/y]; D[z[x,y],x] D[z[x,y],x,x] D[z[x,y],x,y] Out[1]= 221yx y 222 3 )1 ( 2 yx xy 22222 3 1 1 )1 ( 2 yxyx xy 三 求下列方程所确定的隐函数的导数。 (1) 043 322yxyx，求 dx dy 。 解 In[1]:= D[x^2*y[x]+3x^2y[x]^3-4= =0,x]; Solve[%,y’[x]] Out[1]= }} ][9 ][6][2 ][{{ 222 3 xyxx xxyxxy xy (2) 02 zxyeze，求 x z ， y z 。 解 In[1]:= D[E^(-x*y)-2*z[x]+E^z[x]= =0,x]; Simplify[Solve[%,z’[x]]] D[E^(-x*y)-2*z[y]+E^z[y]= =0,y]; Simplify[Solve[%,z’[y]]] Out[1]= }} 2 ][{{ ][xz xy e ye xz }} 2 ][{{ ][yz xy e xe yz (3) ),,(xyzzyxfz求 x z ， y x ， y z 。 解 In[1]:= D[z[x]-f[x+y+z[x],x*y*z[x]]= =0,x]; Simplify[Solve[%,z’[x]] D[z[y]-f[x+y+z[y],x*y*z[y]]= =0,y]; Simplify[Solve[%,z’[y]] Out[1]= ]])}}[],[ [][],[[1( /]])[],[[ ]][],[[][(][{{ )0, 1()1 , 0( )0, 1( )1 , 0( xxyzxzyx fxxyzxzyxxyf xxyzxzyxf xxyzxzyxfxyzxz ]])}}[],[ [][],[[1( /]])[],[[ ]][],[[][(][{{
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