§7用Mathematica求偏导数与多元函数的极值练习参考解答

10 用 Mathematica求偏导数与多元函数的极值练习参考解答 1 求下列函数的偏导数。 1 22 1 yx z   2 xyez  3 z x x z x y u 4 zxyu 2 求下列函数的偏导数或导数。 1 设 xeyxyarctgz,，求 dx dz 。 2 设,lnxyxz 求 yx z 2 3   ， 2 3 xy z   3 设,23,,ln 2vuy v u xyxz求 u z   ， v z   。 4 设, z y y x fu ，求 z u   ， y u   ， x u   。 5 设,, y x xyyxfz，求 xyxxx zzz,,。 3 求下列方程所确定的隐函数的导数。 1 043 322yxyx，求 dx dy 。 2 02 zxyeze，求 x z   ， y z   。 3 ,,xyzzyxfz求 x z   ， y x   ， y z   。 4 axyxazyx 222222,，求 dx dy ， dx dz 。 4 求函数61065, 22yxyxyxf的极值。 5 求函数 22yxz，在}4| ,{22 yxyx范围内的最大最小值。 练习参考解答 1 求下列函数的偏导数。 1 22 1 yx z   2 xyez  3 z x x z x y u 4 zxyu 解 1 In[1] D[1/Sqrt[x2y2,x] In[2] D[1/Sqrt[x2y2,y] Out[1] 2/322yx x   Out[2] 2/322yx y   2 In[3] D[Ex*y,x] In[4] D[Ex*y,x] Out[3] yexy Out[4] xexy 3 In[5] D[y/xz/x-x/z,x] In[6] D[y/xz/x-x/z,y] In[7] D[y/xz/x-x/z,z] Out[5] 22 1 z z zx y  Out[6] x 1 Out[7] 2 1 z x x  4 In[8] D[x*yz,x] In[9] D[x*yz,x] In[10] D[x*yz,z] Out[8] zxyy z1 Out[9] zxyx z1 Out[10] ][xyLogxy z 2 求下列函数的偏导数或导数。 1 设 xeyxyarctgz,，求 dx dz 。 解 In[1] y[x_]Ex; z[x_,y_]ArcTan[x*y]; D[z[x,y],x] Out[1] 221yx y  2 设,lnxyxz 求 yx z 2 3   ， 2 3 xy z   解 In[1] z[x_,y_]x*Log[x*y]’ D[z[x,y],{x,2},y]; Simplify[] D[z[x,y],x,{y,3}]; Simplify[] Out[1] 322 222 1 32 yx yxxy   422 4642 1 66 yx yxxx    3 设,3,1,sin 3vuy u v xyxz求 u z   ， v z   。 解 In[1] x[u_,v_]1-v/u; y[u_,v_]u3v; z[x_,y_]x[u,v]2*Sin[y[u,v]]; D[z[x,y],u]; Simplify[] D[z[x,y],v]; Simplify[] Out[1] 3 222]3[2]3[ u vuSinvuvuCosvuuvu 2 22]3[2]3[3 u vuSinvuCosvuvu 4 设, z y y x fu ，求 z u   ， y u   ， x u   。 解 In[1] u[x_,y_,z_]f[x/y,y/z]; D[u[x,y,z],x] D[u[x,y,z],y] D[u[x,y,z],z] Out[1] y z y y x f],[ 0, 1 2 0, 11 , 0],[],[ y z y y x xf z z y y x f  2 1 , 0],[ z z y y x yf 5 设,, y x xyyxfz，求 xyxxx zzz,,。 解 In[1] z[x_,y_]f[xy,x*y,x/y]; D[z[x,y],x] D[z[x,y],x,x] D[z[x,y],x,y] Out[1] 221yx y  222 3 1 2 yx xy   22222 3 1 1 1 2 yxyx xy     三 求下列方程所确定的隐函数的导数。 1 043 322yxyx，求 dx dy 。 解 In[1] D[x2*y[x]3x2y[x]3-4 0,x]; Solve[,y’[x]] Out[1] }} ][9 ][6][2 ][{{ 222 3 xyxx xxyxxy xy    2 02 zxyeze，求 x z   ， y z   。 解 In[1] D[E-x*y-2*z[x]Ez[x] 0,x]; Simplify[Solve[,z’[x]]] D[E-x*y-2*z[y]Ez[y] 0,y]; Simplify[Solve[,z’[y]]] Out[1] }} 2 ][{{ ][xz xy e ye xz    }} 2 ][{{ ][yz xy e xe yz    3 ,,xyzzyxfz求 x z   ， y x   ， y z   。 解 In[1] D[z[x]-f[xyz[x],x*y*z[x]] 0,x]; Simplify[Solve[,z’[x]] D[z[y]-f[xyz[y],x*y*z[y]] 0,y]; Simplify[Solve[,z’[y]] Out[1] ]]}}[],[ [][],[[1 /]][],[[ ]][],[[][][{{ 0, 11 , 0 0, 1 1 , 0 xxyzxzyx fxxyzxzyxxyf xxyzxzyxf xxyzxzyxfxyzxz     ]]}}[],[ [][],[[1 /]][],[[ ]][],[[][][{{