zt9专题九关于Gamma函数与Beta函数的关系及应用

专题九 关于函数与函数的关系及应用 问题 1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？ 答： 欧拉函数是函数与函数 的统称。 其中若下面的含参变量广义积分收敛， 则分别 称为函数与函数。即： (s) 1 0 sxxe dx   (1) (p,q) 1 11 0 (1) pqxxdx (2) (1)式称为伽马函数， （2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ，函数与函数实质 上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数． 问题 2：函数与函数的定义域是什么？ 答： （一） 、函数的定义域： (s)的定义域为0s . 事实上， （1）当s1时，0 x 不是被积函数的瑕点，因此取1p 都有 1lim()0psx x xxe   ，由柯西判别法知（1）的积分是收敛． （2）当s0， 12 0 ( )() sxsxelnxdx   0 因此(s) 的图形位于s轴上方且凸的． 又因为 0 (1) xe dx   =1，(2)1 (1) =1，所 以，(1)(2) 。 因此( ) s在0s 上有唯一的一个极小值点 0 x 落在(1,2)之间． 问题 4：函数还有其它的形式吗？ 答：函数的其他形式： 在（1）式中，令xpy，则有 11 00 ( )()s pysspyspyepdypyedy   （0s ，0p ） (6) 在（1）式中，令 2xy ，则有( ) s= 22 2(1)21 00 22 sysyyeydyyedy   。 问题 5：函数有些什么性质？ 答：函数具有如下性质： （1）函数的连续性 事 实 上 ， 对 任 何 0 0pp ， 0 0qq 有 11(1)pqxx ≦ 00 11(1)pqxx ， 而 00 1 11 0 (1) pqxxdx 收 敛 ， 所 以 由 附 录 中 的 定 理 5 ，( , )p q在 0 pp  ， 0 qq 上一致连续，故而( , )p q 在(0,)×(0,)内连续． （2）函数的可微性 ( , )p q 在(0,)×(0,)内可微且存在任意阶连续偏导数． 考虑积分 11 1111 00 [(1)](1)l pqpqxxdxxxnxdx p      4 当 0 0pp ， 0 0qq 时，恒有 11(1)pqxxInx 00 11(1)pqxxInx ， （01x） 而 00 1 11 0 (1)ln pqxxx dx 收敛，故积分 1 11 0 (1) pqxxdx 当 0 pp ， 0 qq 时一致收 敛．因此当 0 pp ， 0 qq 时可在积分下求导，得 1 11 0 ( , )(1)ln pq p p qxxxdx  并且 ( , ) p p q 是 0 pp ， 0 qq 上的连续函数． 同理 ( , ) p p q 是域0,0pq上的二元函数，且当0,0pq可在积分下求导得 1 11 0 ( , )(1)ln(1) pq q p qxxx dx  。 完全类似地用数学归纳法可证 ( , ) n in i p q p q      在域0,0pq上存在连续偏导数，且 ( , ) n in i p q p q      = 1 11 0 (1)(l ) (l (1)) pqin ixxnnxdx 。 （3）函数的对称性 ( , )( , )p qq p  （4）递推公式 ( , )p q= 1 ( ,1) 1 q p q pq    （0,1pq） 1 11 0 ( , )(1) pqp qxxdx 1 0 (1) p p q u du u     （ 1 u x u   ） 11 0 1 (1) 1 pp qudu pq      （当1p 时） 2 1 0 1 ( 1)(1) 1(1) p p q u pdu pqu        2 1 0 11 (1, ) 1(1)1 p p q pup dupq pqupq         由对称性可证 (1)(1) ( , )(1,1) (1)(2) qp p qpq pqpq    特别对正整数 ,m n，( , )m n (1)!(1)! (1)! nm mn   。 5 问题 6：函数还有其它的形式吗？ 答：函数的其他形式： 2121 2 0 ( , )2sincos qpp qd    （令 2cosx ） 1 0 ( , ) (1) p p q u p qdu u       （ 1 u x u   ） 进而将此积分拆成[0,1]，[1)，两段积分，后者作变换 1 u t  ，仍把t写成u，则有 11 1 0 ( , ) (1) pquu p qdu u pq     。 问题 7：函数与函数有怎样的关系？ 答：函数与函数有下面的关系： （1） ( ) ( ) ( , ) () pq p q pq    (0,0)pq 事实上，当0,0pq时，由（6）有， 1 0 ( ) pty p p yedy t    ，从而 1 1 00 ( ) ( ) q pxypqxe dxye dy   11 00 ( )p tyqytyeydyye dy   11(1) 00 pp qyttdtyedy    1 1(1) 00 [(1)(1) (1) p p qt y p q t dttedt y t         ( , ) ()p qpq  ， 故有， ( ) ( ) ( , ) () pq p q pq    。 （2） （余元公式）( ,1) sin pp p    （3） （倍元公式） 2121 (2 )( ) () 2      ﹙0﹚ 问题 8：能否举一些函数与函数应用的例子？ 答： 下面是几个关于函数与函数应用的例子： 6 （1）用余元公式计算 1 ( ) 2  的值： 解： 111 ( )( ) ( ) 222 sin 2     。 （2）求 1 0 sin () 1cos1cos d I k        ﹙0＜k＜1﹚。 解：由公式 sin 21cos tg     ，令 2 ttg  ，则 111 sin ()() 1cos2 tgt 