zt9专题九关于Gamma函数与Beta函数的关系及应用

专题九 关于函数与函数的关系及应用 问题 1欧拉函数是什么东西如何定义的 答 欧拉函数是函数与函数 的统称。 其中若下面的含参变量广义积分收敛， 则分别 称为函数与函数。即 s 1 0 sxxe dx   1 p,q 1 11 0 1 pqxxdx 2 1式称为伽马函数， （2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ，函数与函数实质 上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数． 问题 2函数与函数的定义域是什么 答 （一） 、函数的定义域 s的定义域为0s . 事实上， （1）当s1时，0 x 不是被积函数的瑕点，因此取1p 都有 1lim0psx x xxe   ，由柯西判别法知（1）的积分是收敛． （2）当s0， 12 0 sxsxelnxdx   0 因此s 的图形位于s轴上方且凸的． 又因为 0 1 xe dx   1，21 1 1，所 以，12 。 因此 s在0s 上有唯一的一个极小值点 0 x 落在1,2之间． 问题 4函数还有其它的形式吗 答函数的其他形式 在（1）式中，令xpy，则有 11 00 s pysspyspyepdypyedy   （0s ，0p ） 6 在（1）式中，令 2xy ，则有 s 22 2121 00 22 sysyyeydyyedy   。 问题 5函数有些什么性质 答函数具有如下性质 （1）函数的连续性 事 实 上 ， 对 任 何 0 0pp ， 0 0qq 有 111pqxx ≦ 00 111pqxx ， 而 00 1 11 0 1 pqxxdx 收 敛 ， 所 以 由 附 录 中 的 定 理 5 ， , p q在 0 pp  ， 0 qq 上一致连续，故而 , p q 在0,0,内连续． （2）函数的可微性 , p q 在0,0,内可微且存在任意阶连续偏导数． 考虑积分 11 1111 00 [1]1l pqpqxxdxxxnxdx p      4 当 0 0pp ， 0 0qq 时，恒有 111pqxxInx 00 111pqxxInx ， （01x） 而 00 1 11 0 1ln pqxxx dx 收敛，故积分 1 11 0 1 pqxxdx 当 0 pp ， 0 qq 时一致收 敛．因此当 0 pp ， 0 qq 时可在积分下求导，得 1 11 0 , 1ln pq p p qxxxdx  并且 , p p q 是 0 pp ， 0 qq 上的连续函数． 同理 , p p q 是域0,0pq上的二元函数，且当0,0pq可在积分下求导得 1 11 0 , 1ln1 pq q p qxxx dx  。 完全类似地用数学归纳法可证 , n in i p q p q      在域0,0pq上存在连续偏导数，且 , n in i p q p q      1 11 0 1l l 1 pqin ixxnnxdx 。 （3）函数的对称性 , , p qq p  （4）递推公式 , p q 1 ,1 1 q p q pq    （0,1pq） 1 11 0 , 1 pqp qxxdx 1 0 1 p p q u du u     （ 1 u x u   ） 11 0 1 1 1 pp qudu pq      （当1p 时） 2 1 0 1 11 11 p p q u pdu pqu        2 1 0 11 1, 111 p p q pup dupq pqupq         由对称性可证 11 , 1,1 12 qp p qpq pqpq    特别对正整数 ,m n， , m n 11 1 nm mn   。 5 问题 6函数还有其它的形式吗 答函数的其他形式 2121 2 0 , 2sincos qpp qd    （令 2cosx ） 1 0 , 1 p p q u p qdu u       （ 1 u x u   ） 进而将此积分拆成[0,1]，[1，两段积分，后者作变换 1 u t  ，仍把t写成u，则有 11 1 0 , 1 pquu p qdu u pq     。 问题 7函数与函数有怎样的关系 答函数与函数有下面的关系 （1） , pq p q pq    0,0pq 事实上，当0,0pq时，由（6）有， 1 0 pty p p yedy t    ，从而 1 1 00 q pxypqxe dxye dy   11 00 p tyqytyeydyye dy   111 00 pp qyttdtyedy    1 11 00 [11 1 p p qt y p q t dttedt y t         , p qpq  ， 故有， , pq p q pq    。 （2） （余元公式） ,1 sin pp p    （3） （倍元公式） 2121 2 2      ﹙0﹚ 问题 8能否举一些函数与函数应用的例子 答 下面是几个关于函数与函数应用的例子 6 （1）用余元公式计算 1 2  的值 解 111 222 sin 2     。 （2）求 1 0 sin 1cos1cos d I k        ﹙0＜k＜1﹚。 解由公式 sin 21cos tg     ，令 2 ttg  ，则 111 sin 1cos2 tgt 