企业退休职工养老金问题的数学模型
企业退休职工养老金问题的数学模型企业退休职工养老金问题的数学模型 一、一、摘要摘要 本文通过对企业退休职工养老金制度的改革问题进行了探究， 建立数学模型 并使用来预测未来一段时间内职工的年平均工资， 并利用预测数据来推算职工养 老金替代率和未来职工的养老金缺口情况和收支平衡进行分析与计算。 最后提出 了合理建议使得建立的模型尽可能地满足目标替代率58.5%和养老保险基金收 支平衡。 关键词：关键词：数学模型预测替代率收支平衡 二、问题重述二、问题重述 我国企业职工基本养老保险实行 “社会统筹” 与 “个人账户” 相结合的模式， 即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工 个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基 金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴 费指数） ，再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出 资金（基础养老金） ，加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金） ， 作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职 工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账 户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为 3%。 养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系； 工资的增 长又与经济增长相关。近 30 年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发 达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在 21 世纪 中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。 现在我国养老保险改革正处于过渡期。 养老保险管理的一个重要的目标是养 老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老 保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。 替代率是指职工刚退休时的养老金 占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老 保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保 险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基 金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出 时出现的收支之差。 问题一： 对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的 假设，并参考附件 1，预测从 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。 问题二：根据附件 2 计算 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工 资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自 2000 年起分别从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，计算各种情况下的养老金替代率。 问题三：假设某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到退 休（55 岁，60 岁，65 岁） ，并从退休后一直领取养老金，至 75 岁死亡。计算养 老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保 险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。 问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，该采 取什么措施，请给出你的理由。 三、模型的假设三、模型的假设 1、假设无论哪一年的个人账户储存额的一年期存款利率利率均为 3%； 2、假设企业职工都愿意参加并缴纳养老保险金； 3、假设职工的工资平稳增长，不会受到它因素的影响（比如金融危机） ； 4、假设个人账户养老金领取完后，只发放基础养老金。 四、符号说明四、符号说明 y：年度平均工资； K：个人账户养老金； R：基础养老金； T：替代率； ：自 2000 年起，第 i 年个人工资； 五、模型分析五、模型分析 问题一要求对未来我国的经济发展和工资增长形势做出假设， 就要根据实际情 况作出合理的假设；要求根据已知数据预测出未来的平均工资，就要根据达到中 等发达国家水平后工资增长较慢来建立模型， 当达到一定程度后增长速度可能会 下降，甚至达到 0。所以这就会想到数学模型。 问题二要求计算养老金替代率，而且在题目中已经给出了替代率的计算公式， 只要找出退休时的养老金及退休的工资即可。 问题三在题目中提到养老保险基金的缺口即是指养老保险基金入不敷出时的 收支出之差， 收入就是社会统筹基金账户和个人账户的和，支出即发放给职工的 养老金保险金额，由附录三养老金计算公式可以求得支出。 问题四既要达到目标替代率即题目中提到的，又要维持养老保险基金收支平 衡，而平衡既是指现在收入的与现在付出的差值为 0。 六、模型的建立与求解六、模型的建立与求解 问题一模型： 根据附表一所给数据我们用（代码见附录1）做出了如图1 的年份与工资的 关系图。 图 1 山东省职工历年平均工资统计图 由图中的变化趋势， 选用指数趋势线对数据进行拟合。设指数曲线的一般方 程为 y k 1 ek2t 其中的 k12表示待定系数。其中 1978 表示第一年，以此类推 2010 表示第 33 年， 这里的 t 就是表示第几年。采用1978 年至 2010 年的数据进行拟合，用软件计算 可得(代码见附录 2)： k 1 415.3480k 2 0.1327 所以拟合出来的函数为： y 415.3480e0.1327t 带入 t 值 2011-2035 年山东省职工年平均工资的预测值（如表 1 所示） 表 1 用指数模型预测 2011-2035 年山东省职工年平均工资 年份 年平均工资 年份 年平均工资 年份 年平均工资 年份 年平均工资 2011 37832 2018 95781 2025 242490 2032 613918 2012 43200 2019 109372 2026 276901 2033 701037 2013 49331 2020 124894 2027 316196 2034 800519 2014 56332 2021 142616 2028 361066 2035 914119 2015 64326 2022 162855 2029 412304 2016 73454 2023 185965 2030 470813 2017 83878 2024 212355 2031 537625 通过表 1 中预测数据的分析， 我们发现用指数增长模型所得的预测值在后面 几年的逐期增长量过大， 不符合实际， 所以我们对指数模型进行修改， 建立模型。 由题中的意思和实际分析了解到工资的增长务必会随着年份的增长， 增长速 度会慢慢的渐下来，不会一直往上增长。由这样的分析我们就会想到数学模型。 设 r 为工资的增长速度也是在经济不发达时的自然增长速度，分析知日 r 会随着工资 y 的增长而减小，所以可将 r 表示为 y 的函数： r(y) r qy（1) 为了解释 q 可以引一个社会可达到的最高工资额，这样便可知道当 y y m 时工资的增长率趋于 0，由此便可知道： q y y m 将此式带人（1）得： r(y) r(1 y ) ym （2） 因为单位时间内yt
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