用假设法解决问题一

用假设法解决问题（一）① 河北省平乡县大刘庄小学 李明亮 先举一个简单的例子：甲班有学生 45 人，乙班比甲班多 3 人。两班共有学生多少 人 解此题的一般方法是，先求出乙班人数，再求学生总数。如果列式为 45×2+3 就 是用了假设法——假设乙班也是 45 人，则两班共有 45×2=90(人)。但乙班实际人数 比 45 人多 3 人，所以两班的实际总人数比 90 人多 3 人。 有些数学题的数量关系不明显，不容易找到解题的方法。如果我们做一些适当、适当、 合理的假设合理的假设，就有可能使数量关系明显，从而找到解题的方法。这种解题方法叫做假假 设法设法。假设的方法有多种，要灵活运用。 一、把“缺少”的条件假设为已知一、把“缺少”的条件假设为已知 例例 1 1.甲、乙、丙三人出了同样多的钱在粮店买了若干千克大米。回家后，乙要的 大米比甲、丙都少 6 千克，因此，甲、丙都又退给乙 6 元钱。每千克大米多少元、 分析分析：不知道三人共买了多少千克大米，也不知道三人各要多少千克，求大米的 单价似乎很难。但是，我们可以假设大米的数量。 假设乙要了 1 千克大米，则甲、丙都要了 7 千克，三人共买了 7+7+1=15（千克） 每人平均 15÷3=5（千克）。在粮店，他们平均出钱，每人出的都是 5 千克大米的 钱。回家后，甲、丙要的大米都比平均数多 7－5=2（千克），所以甲或丙退给乙的 6 元钱就是多要的 2 千克大米的价钱。乙要的大米比平均数少 5－1=4（千克），所以甲 次修改。 11 ①此文原题目为《用假设法解应用题》，初稿完成于 1993 年 11 月，1994 年 12 月第一次修改，1997 年 8 月第二 v1.0 可编辑可修改 和丙退给他的 12 元钱就是少要的这 4 千克大米的价钱。这样，就可求出大米的单 价。 解法解法÷[7－(7＋7＋1)÷3]=3（元） 解法解法×2÷[(7＋7＋1)÷3－1]=3（元） 本题还可以用下面的方法解（这里只画出线段图，分析略） 解法解法÷（6－6×2÷3）=3（元） 解法解法×2÷（6×2÷3）=3（元） 例例 2.2.小王骑车去火车站。他计划以每小时 15 千米的速度行驶，这样才能正好赶 上火车。可是，前一半路程他骑车的速度是每小时 12 千米。下一半路程他应该以多 快的速度骑行，才能赶上火车 分析与解答：分析与解答：题中只有两个速度，没有路程怎样计算可以假设路程。 假设路程是 30 千米，则小王按计划骑行，需要的时间是 30÷15=2（小时）。前 一半路程他已经用了 30÷2÷12=（小时）；下一半路程他应该用的时间是 2－=（小 时），应该用的骑车速度是每小时 30÷2÷=20（千米）。 30÷2÷（30÷15－30÷2÷12）=20(千米) 答：（略） 22 当然，把路程假设为 3 千米、6 千米、10 千米……结果都是一样的。把路程假设 为“1”当作工程问题来解，也很简便。 35 例例 3.3.甲数的等于乙数的，甲数比乙数大几分之几 58 335 分析与解法分析与解法 1.1.假设甲数是 25，则甲数的是 25×=15。即乙数的也是 15，乙 558 5 数是 15÷=24。 8 （25－24）÷24= 1 24 5325 解法解法 2.2.假设乙数是 1，则甲数是 1×÷=。 8524 （ 251 －1）÷1= 2424 3535 分析与解法 3.假设甲数的与乙数的都等于 1，则甲数是 1÷=，乙数是 1 5853 58 ÷=。 85 3881 （－）÷= 55524 例例 4.4.一次考试，某班学生的平均分数为 87 分。其中 90%的学生达到了 80 分，他 们的平均分数为 89 分。80 分以下的学生的平均分数是多少 分析与解答分析与解答：假设全班有 40 人，则达到 80 分的学生数是 40×90%=36（人），80 分以下的学生数为 40－36=4（人）。 全班学生总分为 87×40=3480（分）；达到 80 分的学生总分为 89×36=3204 （分）；80 分以下的学生的总分为 3480－3204=276（分），平均分是 276÷4=69 （分）。 33 综合算式：（87×40－89×40×90%）÷（40－40×90%）=69（分） 注：如果假设全班有 4 人，则解法更简便。 这类问题，似乎都缺少一个重要条件，但问题的答案却与这个“重要条件”无 关。所以，无论把这个“重要条件”假设为多少，都不影响计算结果，但假设的数据 应便于计算。 类似问题； 1 ，甲的速度比乙快几分之几 11 1.甲乙二人走同一段路，甲所用的时间比乙短 1 2.一艘轮船停靠在码头，计划 12 小时把货卸完。实际卸货的速度提高了。实际 5 几小时可以卸完 3.植树节这天，同学们去种树，平均每人应该种 2 棵。如果只让男同学去种，平 均每人应该种 3 棵。如果只让女同学去种，平均每人应该种几棵 二、把一般条件假设为特殊条件二、把一般条件假设为特殊条件 例 5.一个正方形的面积是 20 平方分米。在这个正方形内画一个最大的圆，求这 个圆的面积。 分析：求圆的面积，一般要先求出圆的半径。在本题中，如果知道了正方形的边 长，就可求出圆的半径，但题中只给了正方形的面积。根据正方形的面积求边长，要 用开方。对于小学生来说，只有正方形的面积是 4、9、16、25……时，才有可能推想 出它的边长。用小学知识能不能解这道题呢 解法解法 1 1.假设这个正方形的面积是 25 平方分米，则它的边长是 5 分米。所以，假 设的这个正方形内的最大的圆的直径是 5 分米，面积是 44 v1.0 可编辑可修改 5 （）2×=（平方分米） 2 而原正方形面积是假设的这个正方形面积的 这个圆面积的 20 。 25 20 ,所求的圆的面积也应该是假设的 25 × 20 =（平方分米） 25 解法解法 2 2.假设正方形的边长是 20 分米，则它里面最大的圆的直径也是 20 分米，面 积是( 20 2) ×=314（平方分米）。把面积 20 平方分米的正方形假设为边长 20 分米， 2 面积就扩大了 20 倍，它里面最大的圆的面积也就扩大了 20 倍。所以，所求的圆的面 积是 314÷20=（平方分米） 注注：此题不用假设法也可以解。如图，把正方形平均分成 4 个小 正方形，每个小正方形的面积都是 20÷4=5（平方分米），即 r2=5.所以圆的面积是 S=πr2=×5=（平方分米）。 类似习题： 1.把一个面积是平方分米的圆形纸片剪成一个最大的正方形。求这个正方形纸片 的面积。 55 2.一个正方体的体积是 9 立方分米，另一个正方体的棱长是它的 2 倍。求另一个 正方体的体积。 三、把带“铃铛”的分率（倍数）假设为不带“铃铛”把带“铃铛”的分率（倍数）假设为不带“铃铛” 有些问题，给出的两个数量间的倍数关系后面带着具体数量，我们称之为分率 （倍数）带“铃铛”。可以假设法（当然，也可以用用画图的方法）把数量进行调 整，使分率（倍数）不带“铃铛”。 1 例例 6 6.工人师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的多 4 个，第二天加工 3 1 了全部零件的少 1 个，还剩 16 个每加工