用假设法解决问题一

用假设法解决问题（一）① 河北省平乡县大刘庄小学 李明亮 先举一个简单的例子甲班有学生 45 人，乙班比甲班多 3 人。两班共有学生多少 人 解此题的一般方法是，先求出乙班人数，再求学生总数。如果列式为 4523 就 是用了假设法假设乙班也是 45 人，则两班共有 45290人。但乙班实际人数 比 45 人多 3 人，所以两班的实际总人数比 90 人多 3 人。 有些数学题的数量关系不明显，不容易找到解题的方法。如果我们做一些适当、适当、 合理的假设合理的假设，就有可能使数量关系明显，从而找到解题的方法。这种解题方法叫做假假 设法设法。假设的方法有多种，要灵活运用。 一、把“缺少”的条件假设为已知一、把“缺少”的条件假设为已知 例例 1 1.甲、乙、丙三人出了同样多的钱在粮店买了若干千克大米。回家后，乙要的 大米比甲、丙都少 6 千克，因此，甲、丙都又退给乙 6 元钱。每千克大米多少元、 分析分析不知道三人共买了多少千克大米，也不知道三人各要多少千克，求大米的 单价似乎很难。但是，我们可以假设大米的数量。 假设乙要了 1 千克大米，则甲、丙都要了 7 千克，三人共买了 77115（千克） 每人平均 1535（千克）。在粮店，他们平均出钱，每人出的都是 5 千克大米的 钱。回家后，甲、丙要的大米都比平均数多 7－52（千克），所以甲或丙退给乙的 6 元钱就是多要的 2 千克大米的价钱。乙要的大米比平均数少 5－14（千克），所以甲 次修改。 11 ①此文原题目为用假设法解应用题，初稿完成于 1993 年 11 月，1994 年 12 月第一次修改，1997 年 8 月第二 v1.0 可编辑可修改 和丙退给他的 12 元钱就是少要的这 4 千克大米的价钱。这样，就可求出大米的单 价。 解法解法[7－7＋7＋13]3（元） 解法解法2[7＋7＋13－1]3（元） 本题还可以用下面的方法解（这里只画出线段图，分析略） 解法解法（6－623）3（元） 解法解法2（623）3（元） 例例 2.2.小王骑车去火车站。他计划以每小时 15 千米的速度行驶，这样才能正好赶 上火车。可是，前一半路程他骑车的速度是每小时 12 千米。下一半路程他应该以多 快的速度骑行，才能赶上火车 分析与解答分析与解答题中只有两个速度，没有路程怎样计算可以假设路程。 假设路程是 30 千米，则小王按计划骑行，需要的时间是 30152（小时）。前 一半路程他已经用了 30212（小时）；下一半路程他应该用的时间是 2－（小 时），应该用的骑车速度是每小时 30220（千米）。 302（3015－30212）20千米 答（略） 22 当然，把路程假设为 3 千米、6 千米、10 千米结果都是一样的。把路程假设 为“1”当作工程问题来解，也很简便。 35 例例 3.3.甲数的等于乙数的，甲数比乙数大几分之几 58 335 分析与解法分析与解法 1.1.假设甲数是 25，则甲数的是 2515。即乙数的也是 15，乙 558 5 数是 1524。 8 （25－24）24 1 24 5325 解法解法 2.2.假设乙数是 1，则甲数是 1。 8524 （ 251 －1）1 2424 3535 分析与解法 3.假设甲数的与乙数的都等于 1，则甲数是 1，乙数是 1 5853 58 。 85 3881 （－） 55524 例例 4.4.一次考试，某班学生的平均分数为 87 分。其中 90的学生达到了 80 分，他 们的平均分数为 89 分。80 分以下的学生的平均分数是多少 分析与解答分析与解答假设全班有 40 人，则达到 80 分的学生数是 409036（人），80 分以下的学生数为 40－364（人）。 全班学生总分为 87403480（分）；达到 80 分的学生总分为 89363204 （分）；80 分以下的学生的总分为 3480－3204276（分），平均分是 276469 （分）。 33 综合算式（8740－894090）（40－4090）69（分） 注如果假设全班有 4 人，则解法更简便。 这类问题，似乎都缺少一个重要条件，但问题的答案却与这个“重要条件”无 关。所以，无论把这个“重要条件”假设为多少，都不影响计算结果，但假设的数据 应便于计算。 类似问题； 1 ，甲的速度比乙快几分之几 11 1.甲乙二人走同一段路，甲所用的时间比乙短 1 2.一艘轮船停靠在码头，计划 12 小时把货卸完。实际卸货的速度提高了。实际 5 几小时可以卸完 3.植树节这天，同学们去种树，平均每人应该种 2 棵。如果只让男同学去种，平 均每人应该种 3 棵。如果只让女同学去种，平均每人应该种几棵 二、把一般条件假设为特殊条件二、把一般条件假设为特殊条件 例 5.一个正方形的面积是 20 平方分米。在这个正方形内画一个最大的圆，求这 个圆的面积。 分析求圆的面积，一般要先求出圆的半径。在本题中，如果知道了正方形的边 长，就可求出圆的半径，但题中只给了正方形的面积。根据正方形的面积求边长，要 用开方。对于小学生来说，只有正方形的面积是 4、9、16、25时，才有可能推想 出它的边长。用小学知识能不能解这道题呢 解法解法 1 1.假设这个正方形的面积是 25 平方分米，则它的边长是 5 分米。所以，假 设的这个正方形内的最大的圆的直径是 5 分米，面积是 44 v1.0 可编辑可修改 5 （）2（平方分米） 2 而原正方形面积是假设的这个正方形面积的 这个圆面积的 20 。 25 20 ,所求的圆的面积也应该是假设的 25 20 （平方分米） 25 解法解法 2 2.假设正方形的边长是 20 分米，则它里面最大的圆的直径也是 20 分米，面 积是 20 2 314（平方分米）。把面积 20 平方分米的正方形假设为边长 20 分米， 2 面积就扩大了 20 倍，它里面最大的圆的面积也就扩大了 20 倍。所以，所求的圆的面 积是 31420（平方分米） 注注此题不用假设法也可以解。如图，把正方形平均分成 4 个小 正方形，每个小正方形的面积都是 2045（平方分米），即 r25.所以圆的面积是 Sπr25（平方分米）。 类似习题 1.把一个面积是平方分米的圆形纸片剪成一个最大的正方形。求这个正方形纸片 的面积。 55 2.一个正方体的体积是 9 立方分米，另一个正方体的棱长是它的 2 倍。求另一个 正方体的体积。 三、把带“铃铛”的分率（倍数）假设为不带“铃铛”把带“铃铛”的分率（倍数）假设为不带“铃铛” 有些问题，给出的两个数量间的倍数关系后面带着具体数量，我们称之为分率 （倍数）带“铃铛”。可以假设法（当然，也可以用用画图的方法）把数量进行调 整，使分率（倍数）不带“铃铛”。 1 例例 6 6.工人师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的多 4 个，第二天加工 3 1 了全部零件的少 1 个，还剩 16 个每加工