2021年普通高等学校招生全国统一考试数学卷全国新课标理含详解

2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 第第 I I 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 (1)复数 2i 的共轭复数是 12i （A） i （B）i（C）i（D）i 3 5 3 5 （2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（0， +） （A）y  x3 (B)y  x 1（C）y  x21 (D)y  2 x （3）执行右面的程序框图， 如果输入的N是 6，那么输出的 p是 （A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040 （4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各 个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 1123 （A）（B）（C）（D） 3234 （5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y  2x上，则 cos2 = 4334 （A）（B）（C）（D） 5555 （6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， - 1 - 则相应的俯视图可以为 （7） 设直线L过双曲线 C 的一个焦点， 且与C的一条对称轴垂直，L与 C 交于A,B 两点，AB为C的实轴长的 2 倍，则C的离心率为 （A）2（B）3（C）2（D）3 a  1  （8）x  2x  的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 xx  5 （A）-40（B）-20（C）20（D）40 （9）由曲线y x，直线y  x2及y轴所围成的图形的面积为 （A） 1016 （B）4（C）（D）6 33 （10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 2 P : a b 1 0, 1   3   2   P : a b 1,  2   3     P 3 : a b 1 0,  P 4 : a b 1,   3 3 其中的真命题是 （A）P 1,P3 （C）P 1,P4 （B）P 2 ,P 3 （D）P 2 ,P 4 （11）设函数f (x)  sin(x)cos(x)( 0,  2 )的最小正周期为，且 - 2 - f (x)  f (x)，则   3 （A）f (x)在0,  单调递减（B）f (x)在,  2 4 4    （C）f (x)在0,  单调递增  2 3 （D）f (x)在, 4 4   单调递减    单调递增  (12)函数y  之和等于 1 的图像与函数y  2sinx(2  x  4)的图像所有交点的横坐标 x1 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 第Ⅱ卷第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考 生都必须做答。第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 3 2x y  9, （13）若变量x, y满足约束条件则z  x 2y的最小值为。 6  x y  9,  （14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F 1,F2 在x轴上，离 心率为 2 。过F 1 的直线L交C于A,B两点，且ABF 2 的周长为 16，那么C的方 2 程为。 （15） 已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上， 且AB  6,BC  2 3, 则棱锥O ABCD的体积为。 （16）在ABC中，B  60 , AC 3，则AB2BC的最大值为。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 2 等比数列an的各项均为正数，且2a 1 3a 2 1,a 3  9a 2a6. （Ⅰ)求数列an的通项公式；  1  （Ⅱ）设b n  log 3 a 1 log 3 a 2 log 3 a n ,求数列 的前n项和. bn - 3 - (18)(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （19） （本小题满分 12 分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大 于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生 产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： （Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元） ，求X的分布列及数学期 望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概 率） （20） （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足MB / /OA， MAAB  MBBA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的方程； - 4 - （Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O 点到l距离的最小值。 （21） （本小题满分 12 分） 已 知 函 数f (x)  aln xb ， 曲 线y  f (x)在 点(1,f (1))处 的 切 线 方 程 为 x1x x 2y 3  0。 （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当x 0，且x 1时，f (x)  请考生在第请考生在第 2222、、2323、、2424 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时 请写清题号。请写清题号。 （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且 不与ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长 是关于x的方程x214x mn  0的两个根。 （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆； （Ⅱ）若A90，且m  4,n  6，求C，B，D，E所在圆的半径。 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 ln xk ，求k的取值范围。 x1x x  2cos （为参数） y  22sin  M 是 C1上的动点，P 点满足OP  2OM,P 点的轨迹为曲线C2