2020--2020年朝阳区高三数学理科期末试题及答案

北京市朝阳区北京市朝阳区 2020-20202020-2020 学年度高三年级第学年度高三年级第 一学期期末统一考试一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 2020．1 （考试时间 120 分钟满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项． 1．设i为虚数单位，则复数z  1i 在复平面内对应的点所在的象限是 i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 过抛物线y2 4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点． 若AB中点M到抛物线 准线的距离为 6，则线段AB的长为 A．6 B．9 C．12 D．无法确定 3．设函数f (x) sin(2x)的图象为C，下面结论中正确的是 A．函数f (x)的最小正周期是 B．图象C关于点(,0)对称 C．图象C可由函数g(x) sin2x的图象向右平移 D．函数f (x)在区间(   ,)上是增函数  2  个单位得到 3  6  3 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积 是 A．42 6 B．8 C．42 3 D．4 3 m，5．若，表示不重合的两个平面，l表示不重合的两条直线． m，l ， l ，则“l∥m”是“l∥且l∥”的 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在ABC中，B  A． π ，则sin AsinC的最大值是 4 122223 B． C． D． 4244 7．点O在ABC的内部，且满足OA2OB4OC  0，则ABC的面积与AOC的 面积之比是 A． 75 B． 3 C． D．2 22 8.设连续正整数的集合I 1,2,3,.,238，若T是I的子集且满足条件：当xT时， 7xT，则集合T中元素的个数最多是（） A.204 B.207 C.208 D.209 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上． 9．角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,2)，则 sin(π)的值是． 10．双曲线C : x2 y2（ 0）的离心率是；渐近线方程 是． x2y4 0,  11．设不等式组x  0,表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则 y  0  点P落在圆x2 y21内的概率为． 12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1 点响 1 声，2 点响 2 声，3 点 响 3 声，……，12 点响 12 声（12 时制） ，且每次报时时相邻两次响铃之间的间 隔均为 1 秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12 点的报时， 则此人至少需等待秒才能确定时间； 如果此次是 11 点的报时， 则此人至少需等待秒才能确定时间． 13．在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的 6 个点，边OB上有异于顶点O的 4 个 点，加上点O，以这 11 个点为顶点共可以组成个三角形（用数 字作答） ． 14．已知函数f (x)  sinπx (xR )．下列命题： πx π1x ①函数f (x)既有最大值又有最小值； ②函数f (x)的图象是轴对称图形； ③函数f (x)在区间[π,π]上共有 7 个零点； ④函数f (x)在区间(0,1)上单调递增． 其中真命题是． （填写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过 程． 15． （本小题满分 13 分） 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为 了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁（含 20 岁和 80 岁）之间的 600 人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)， [50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示 .若规定年龄分布在 [20,40)岁的人为“青年人” ，[40,60)为“中年人” ， [60,80]为“老年人”. 频率 组距 0.03 0.02 0.01 O 20304050607080 年龄 （Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的 600 人的平 均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在 20-80 年龄段的人口分布的概率．从该 城市 20-80 年龄段市民中随机抽取 3 人，记抽到“老年人”的人数为X， 求随机变量X的分布列和数学期望． 1 6． （本小题满分 14 分） 如图， 在四棱锥P  ABCD中， 底面ABCD是正方形， 侧面PAB底面ABCD， PA AB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动． （Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF//平面PAC； （Ⅱ）求证：AE PF； （Ⅲ） 若PB 2AB， 二面角EAFB的余弦值等于 的位置，并说明理由. D C A F B P E 11 ， 试判断点F在边BC上 11 17． （本小题满分 13 分） a 2 ，a 3 ,若有穷数列a 1 ，a i  a mi1(i 1,2,3, ,a m （m是正整数） 满足条件：,m)， 则称其为“对称数列” ．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列” ． （Ⅰ）若{b n }是 25 项的“对称数列” ，且b 13 ,b14,b 15 , 的等比数列．求{b n }的所有项和S； （Ⅱ）若{c n }是 50 项的“对称数列” ，且c 26 , c 27 , c 28 , 的等差数列．求{c n }的前n项和S n ，1 n  50,nN N. 18． （本小题满分 13 分） ，c 50 是首项为 1，公差为 2 ，b 25 是首项为 1，公比为 2 eax 设函数f (x)  2 ,aR R． x 1 3 （Ⅰ）当a 时,求函数f (x)的单调区间； 5 1 （Ⅱ）设g(x)为f (x)的导函数，当x[ ,2e]时，函数f (x)的图象总在g(x)的图象 e 的上方，求a的取值范围． 19． （本小题满分 14 分） 33x2y2 已知椭圆C : 2  2 1(a  b  0)过点(1,)，离心率为． 过椭圆右顶点A的 22ab 1 两条斜率乘积为的直线分别交椭圆C于M,N两点． 4 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过，请说明理 由． 20． （本小题满分 13 分） 已知函数f (x)  (x x 1)(x x2 )(x x 3 )，x