极坐标与参数方程

坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1． 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ρ2＝x2＋y2  x＝ρcos θ   ，.y y＝ρsin θ tan θ＝xx≠0 2． 直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0 －α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； π (3)直线过点 M(b， )且平行于极轴：ρsin θ＝b. 2 3． 圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程为 2ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 0－r ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)圆心位于 M(r,0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； π (3)圆心位于 M(r， )，半径为 r：ρ＝2rsin θ. 2 4． 直线的参数方程  x＝x0＋tcos α， 过定点 M(x0，y0)，倾斜角为 α的直线 l的参数方程为(t 为参数)． y＝y ＋tsin α  0 5． 圆的参数方程  x＝x0＋rcos θ， 圆心在点M(x0，y0)，半径为r 的圆的参数方程为(θ 为参数， y＝y0＋rsin θ  0≤θ≤2π)． 6． 圆锥曲线的参数方程 x＝acos θ， x2y2 (1)椭圆 2＋2＝1 的参数方程为 (θ 为参数)． ab y＝bsin θ  x＝2pt2  (2)抛物线 y2＝2px(p0)的参数方程为. y＝2pt  1 / 12 真题感悟真题感悟 1． (2013·广东)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半 轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．  x＝t 2． (2013·江西)设曲线 C 的参数方程为(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点， y＝t2  x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．  x＝acos φ 3． (2013·湖北)在直角坐标系xOy 中，椭圆 C 的参数方程为(φ 为参数， y＝bsin φ  ab0)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x π2 轴正半轴为极轴)中，直线 l与圆 O 的极坐标方程分别为 ρsin (θ＋ )＝m(m 为非零常 42 数)与 ρ＝b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆 C 的离心率为 ________． 4． (2011·陕西)在直角坐标系 xOy中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，  x＝3＋cos θ， 设点 A，B 分别在曲线 C1：(θ 为参数)和曲线 C2：ρ＝1 上，则 AB 的 y＝4＋sin θ  最小值为________． x＝t＋1，  5． (2012·湖南)在直角坐标系 xOy中，已知曲线 C1：(t为参数)与曲线 C2： y＝1－2t x＝asin θ，  (θ 为参数，a0)有一个公共点在 x轴上，则 a＝________. y＝3cos θ  6.[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线 C1与 C2的方程分别为 2ρcos2θ＝sinθ与 ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建 立平面直角坐标系，则曲线C1与 C2交点的直角坐标为________． 2 x＝2＋t， 2 7．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线 C：(t 为参数)的普通方程 2 y＝1＋t 2 为________．    8． [2014·陕西卷] ππ θ－6＝1 的距离C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点2， 到直线 ρ sin  6 是________． 2 / 12 题型与方法题型与方法 题型一极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化  x＝t， 例 1已知直线 l 的参数方程：(t 为参数)和圆 C 的极坐标方程： ρ＝2 2 y＝1＋2t  π θ＋  (θ 为参数)． sin 4 (1)将直线 l的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线 l和圆 C的位置关系．  x＝2t， 变式训练 1已知直线 l的参数方程是(t为参数)，圆 C的极坐标方程为 ρ＝4 2 y＝4t＋a  π θ＋ . cos 4 (1)将圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为 2，求实数 a的值． 题型二曲线的极坐标方程 例 2在直角坐标系 xOy中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 的极 π θ－ ＝1，M，N分别为曲线 C 与 x 轴，y轴的交点． 坐标方程为 ρcos 3 (1)写出曲线 C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设 M，N的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程． 3 / 12 变式训练 2(2012·辽宁)在直角坐标系 xOy中，圆 C1：x2＋y2＝4，圆 C2：(x－2)2＋y2＝4. (1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1，C2的极坐标方 程，并求出圆 C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程． 题型三曲线的参数方程及应用 例 3(2012·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 2 3π 极坐标系．已知直线 l 上两点 M，N 的极坐标分别为(2,0)，，圆 C 的参数方 3 ，2 x＝2＋2cos θ， 程为(θ 为参数)． y＝－ 3＋2sin θ (1)设 P 为线段 MN的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线 l与圆 C的位置关系． x＝ 2 2t 变式训练 3已知直线 l的参数方程是 2 y＝  2 t＋4 π ＝2cos(θ＋ )． 4 (1)求圆心 C 的直角坐标； 2 (t是参数)，圆 C的极坐标方程为 ρ (2)由直线 l上的点向圆 C引切线，求切线长的最小值． 4 / 12 典例(10 分)在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 x＝1＋2cos α， π  标系，已知点 M的极坐标为4 2，4，曲线 C 的参数方程为(α 为参 y＝ 2sin α 数)． (1)求直线 OM的直角坐标方程； (2)求点 M 到曲线 C上的点的距离的最小值． 规范解答  x＝cos α， 1． 已知圆 C的参数方程为(α 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建 y＝1＋sin