极坐标与参数方程

坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1． 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为x，y和ρ，θ，则 ρ2＝x2＋y2  x＝ρcos θ   ，.y y＝ρsin θ tan θ＝xx≠0 2． 直线的极坐标方程 若直线过点 Mρ0，θ0，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程为 ρsinθ－α＝ρ0sinθ0 －α． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 1直线过极点θ＝α； 2直线过点 Ma,0且垂直于极轴ρcos θ＝a； π 3直线过点 Mb， 且平行于极轴ρsin θ＝b. 2 3． 圆的极坐标方程 若圆心为 Mρ0，θ0，半径为 r 的圆的方程为 2ρ2－2ρ0ρcosθ－θ0＋ρ2 0－r ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 1圆心位于极点，半径为rρ＝r； 2圆心位于 Mr,0，半径为 rρ＝2rcos θ； π 3圆心位于 Mr， ，半径为 rρ＝2rsin θ. 2 4． 直线的参数方程  x＝x0＋tcos α， 过定点 Mx0，y0，倾斜角为 α的直线 l的参数方程为t 为参数． y＝y ＋tsin α  0 5． 圆的参数方程  x＝x0＋rcos θ， 圆心在点Mx0，y0，半径为r 的圆的参数方程为θ 为参数， y＝y0＋rsin θ  0≤θ≤2π． 6． 圆锥曲线的参数方程 x＝acos θ， x2y2 1椭圆 2＋2＝1 的参数方程为 θ 为参数． ab y＝bsin θ  x＝2pt2  2抛物线 y2＝2pxp0的参数方程为. y＝2pt  1 / 12 真题感悟真题感悟 1． 2013广东已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半 轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．  x＝t 2． 2013江西设曲线 C 的参数方程为t 为参数，若以直角坐标系的原点为极点， y＝t2  x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．  x＝acos φ 3． 2013湖北在直角坐标系xOy 中，椭圆 C 的参数方程为φ 为参数， y＝bsin φ  ab0，在极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x π2 轴正半轴为极轴中，直线 l与圆 O 的极坐标方程分别为 ρsin θ＋ ＝mm 为非零常 42 数与 ρ＝b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆 C 的离心率为 ________． 4． 2011陕西在直角坐标系 xOy中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，  x＝3＋cos θ， 设点 A，B 分别在曲线 C1θ 为参数和曲线 C2ρ＝1 上，则 AB 的 y＝4＋sin θ  最小值为________． x＝t＋1，  5． 2012湖南在直角坐标系 xOy中，已知曲线 C1t为参数与曲线 C2 y＝1－2t x＝asin θ，  θ 为参数，a0有一个公共点在 x轴上，则 a＝________. y＝3cos θ  6.[2014广东卷] 坐标系与参数方程选做题在极坐标系中，曲线 C1与 C2的方程分别为 2ρcos2θ＝sinθ与 ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建 立平面直角坐标系，则曲线C1与 C2交点的直角坐标为________． 2 x＝2＋t， 2 7．[2014湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线 Ct 为参数的普通方程 2 y＝1＋t 2 为________．    8． [2014陕西卷] ππ θ－6＝1 的距离C.坐标系与参数方程选做题在极坐标系中，点2， 到直线 ρ sin  6 是________． 2 / 12 题型与方法题型与方法 题型一极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化  x＝t， 例 1已知直线 l 的参数方程t 为参数和圆 C 的极坐标方程 ρ＝2 2 y＝1＋2t  π θ＋  θ 为参数． sin 4 1将直线 l的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； 2判断直线 l和圆 C的位置关系．  x＝2t， 变式训练 1已知直线 l的参数方程是t为参数，圆 C的极坐标方程为 ρ＝4 2 y＝4t＋a  π θ＋ . cos 4 1将圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程； 2若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为 2，求实数 a的值． 题型二曲线的极坐标方程 例 2在直角坐标系 xOy中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 的极 π θ－ ＝1，M，N分别为曲线 C 与 x 轴，y轴的交点． 坐标方程为 ρcos 3 1写出曲线 C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； 2设 M，N的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程． 3 / 12 变式训练 22012辽宁在直角坐标系 xOy中，圆 C1x2＋y2＝4，圆 C2x－22＋y2＝4. 1在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1，C2的极坐标方 程，并求出圆 C1，C2的交点坐标用极坐标表示； 2求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程． 题型三曲线的参数方程及应用 例 32012福建在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 2 3π 极坐标系．已知直线 l 上两点 M，N 的极坐标分别为2,0，，圆 C 的参数方 3 ，2 x＝2＋2cos θ， 程为θ 为参数． y＝－ 3＋2sin θ 1设 P 为线段 MN的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程； 2判断直线 l与圆 C的位置关系． x＝ 2 2t 变式训练 3已知直线 l的参数方程是 2 y＝  2 t＋4 π ＝2cosθ＋ ． 4 1求圆心 C 的直角坐标； 2 t是参数，圆 C的极坐标方程为 ρ 2由直线 l上的点向圆 C引切线，求切线长的最小值． 4 / 12 典例10 分在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 x＝1＋2cos α， π  标系，已知点 M的极坐标为4 2，4，曲线 C 的参数方程为α 为参 y＝ 2sin α 数． 1求直线 OM的直角坐标方程； 2求点 M 到曲线 C上的点的距离的最小值． 规范解答  x＝cos α， 1． 已知圆 C的参数方程为α 为参数，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建 y＝1＋sin