完整版幂级数概念

§ 11．1 常数项级数的概念和性质 § 11 3幂级数 一、函数项级数的概念 函数项级数 给定一个定义在区间 I 上的函数列{un(x)} 由这函数列构成的表达式 u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)    称为定义在区间 I 上的(函数项)级数记为un(x) n1  收敛点与发散点 对于区间 I 内的一定点 x0 若常数项级数un(x0)收敛 则称 点 x0是级数un(x)的收敛点若常数项级数un(x0)发散 则称 点 x0是级数un(x)的发散点 n1   n1  n1  n1 收敛域与发散域 函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域 所 n1  有发散点的全体称为它的发散域 和函数 在收敛域上 函数项级数un(x)的和是 x 的函数 s(x) n1  s(x)称为函数项级数un(x)的和函数 并写成s(x)un(x) n1n1  ∑un(x)是un(x)的简便记法 以下不再重述 n1  在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是 x 的函数 s(x) s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成 s(x)∑un(x) 这函数的定义就是级数的收敛域 部分和 函数项级数un(x)的前 n 项的部分和记作 sn(x) n1  函数项级数∑un(x)的前 n 项的部分和记作 sn(x) 即 sn(x) u1(x)u2(x)u3(x)    un(x) 1 § 11．1 常数项级数的概念和性质 在收敛域上有limsn(x)s(x)或 sn(x)s(x)(n)  n 余项 函数项级数un(x)的和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差 n1  rn(x)s(x)sn(x)叫做函数项级数un(x)的余项 n1  函数项级数∑un(x)的余项记为 rn(x) 它是和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x) 在收敛域上有lim r n(x)0  n 二、幂级数及其收敛性 幂级数 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是 a0a1xa2x2    anxn     其中常数 a0 a1 a2     an   叫做幂级数的系数 幂级数的例子 1xx2x3    xn     1x 1 x2 1 xn 2!n! 注 幂级数的一般形式是 a0a1(xx0)a2(xx0)2    an(xx0)n     经变换 txx0就得 a0a1ta2t2    antn     幂级数 1xx2x3    xn    可以看成是公比为 x 的几何级数 当|x|1 时它是收敛的 当|x|1 时 它是发散的 因此它的收敛 域为(1 1) 在收敛域内有 1 1xx2x3xn 1x 定理 1 (阿贝尔定理) 如果级数anxn当 xx0 (x00)时收敛 则适合不等式 n0  2 § 11．1 常数项级数的概念和性质 |x||x0|的一切 x 使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数anxn当 n0  xx0时发散 则适合不等式|x||x0|的一切 x 使这幂级数发散 定理 1 (阿贝尔定理) 如果级数∑anxn当 xx0 (x00)时收敛 则适合不等式 |x||x0|的一切 x 使这幂级数绝对收敛反之 如果级数∑anxn当 xx0时发散 则适合不等式|x||x0|的一切 x 使这幂级数发散 提示 ∑anx 是anxn的简记形式 n  n0 证先设x0是幂级数anx的收敛点 即级数anxn收敛 根据级数收敛的必要条件 有 n0n0  n  n n lim anx00 于是存在一个常数 M 使 | anx0n |M(n0, 1, 2,   ) 这样级数anxn的的一般项的绝对值 n0 n nn x |anxn||anx0 n ||anx0|| x |nM| x |n x0 x0 x0  x nn 因为当|x||x0|时 等比级数 M|| 收敛 所以级数|anx |收敛 也就是级数 anxn 绝对 x0 n0n0n0  收敛 简要证明设∑anxn在点x0收敛 则有anx0n0(n)  于是数列{anx0n}有界 即存在一个常 数 M 使| anx0n |M(n0, 1, 2,   ) 因为|anxn n nn x ||anx0 n ||anx0|| x |nM| x |n x0 x0 x0 而当|x||x0|时 等比级数 M| n0 x |n收敛 所以级数∑|a xn|收敛 也就是级数∑a xn绝对收敛 nn x0 定理的第二部分可用反证法证明 倘若幂级数当 xx0时发散而有一点 x1适合|x1||x0|使级数 收敛 则根据本定理的第一部分 级数当 xx0时应收敛 这与所设矛盾 定理得证 3 § 11．1 常数项级数的概念和性质 推论如果级数anxn不是仅在点 x0 一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一 n0  个完全确定的正数 R 存在 使得 当|x|R 时 幂级数绝对收敛 当|x|R 时 幂级数发散 当 xR 与 xR 时 幂级数可能收敛也可能发散 收敛半径与收敛区间 正数R通常叫做幂级数anxn的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级 n0  数 n0 anx  n的收敛区间 再由幂级数在 xR 处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数anxn n0  的收敛域是(R, R)(或[R, R)、(R, R]、[R, R]之一 规定 若幂级数anx只在 x0 收敛 则规定收敛半径R0  若幂级数anxn对一切 x 都 n0n0  n  收敛 则规定收敛半径 R 这时收敛域为(, ) 定理 2 an1 | 其中 an、an1是幂级数anxn的相邻两项的系数 则这幂级数的收敛 如果lim| n an n0 半径   0   1 R0      0 定理 2 如果幂级数anxn系数满足lim| n0 n an1 | 则这幂级数的收敛半径 an   0   1 R0      0 定理 2 4 § 11．1 常数项级数的概念和性质 an1 | 则幂级数anxn的收敛半径 R 为 如果lim| n an n