培优辅导专题3：含参数函数不等式恒成立问题

专题三专题三含参数函数不等式恒成立问题含参数函数不等式恒成立问题 不等式问题是数学中的重要内容之一，而含参数函数不等式恒成立问题又是重点中的难 点．这类问题既含参数又含变量，与多个知识有效交汇，有利于考查学生的综合解题能力， 检验学生思维的灵活性与创造性，这正符合高考强调能力立意，强调数学思想与方法的命题 思想，因此恒成立问题成为近年来全国各地高考数学试题的一个热点． 模块模块 1 1整理方法整理方法提升能力提升能力 处理含参数函数不等式（一个未知数）恒成立问题，从方法上，可考虑分离参数法或猜处理含参数函数不等式（一个未知数）恒成立问题，从方法上，可考虑分离参数法或猜 想想最值法（必要条件法）最值法（必要条件法） ．如果使用分离参数法，则猜想是没有作用的，对于难一点的分离．如果使用分离参数法，则猜想是没有作用的，对于难一点的分离 参数法，可能要使用多次求导或洛必达法则．如果使用猜想法，则后续有参数法，可能要使用多次求导或洛必达法则．如果使用猜想法，则后续有3 3 种可能：一是猜种可能：一是猜 想没有任何作用；想没有任何作用；二是利用猜想减少分类讨论；二是利用猜想减少分类讨论；三是在猜想的基础上强化，三是在猜想的基础上强化，从而得到答案．从而得到答案．从从 改造的形式上，解答题优先选择一平一曲，可利用分离参数法转化为一平一曲两个函数，也改造的形式上，解答题优先选择一平一曲，可利用分离参数法转化为一平一曲两个函数，也 可以把函数化归为一边，考虑函数的图象与可以把函数化归为一边，考虑函数的图象与x轴的交点情况（本质上也是一平一曲）轴的交点情况（本质上也是一平一曲） ．． 洛必达法则洛必达法则 如果当x  x 0 （x 0 也可以是）时，两个函数f x和gx都趋向于零或都趋向于无 穷大，那么极限lim fx gx xx0 可能存在，也可能不存在．如果存在，其极限值也不尽相同．我们 称这类极限为 0 型或型不定式极限．对于这类极限，一般要用洛必达法则来求． 0 定理定理 1 1：：若函数f x和gx满足条件： （1）lim f x lim gx0． xx0 xx0 （2）f x和gx在x 0 的某个去心邻域内可导，且 g x 0． （3）lim fx gx xx0 存在或为无穷大． 则有lim fx gx xx0  lim xx0 f  x ． g x 定理定理 2 2：：若函数f x和gx满足条件： （1）lim f x lim gx ． xx0 xx0 （2）f x和gx在x 0 的某个去心邻域内可导，且 g x 0． （3）lim fx gx xx0 存在或为无穷大． 则有lim fx gx xx0  lim xx0 f  x ． g x 在定理 1 和定理 2 中，将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则． 使用洛必达法则时需要注意： （1）lim fx gx xx0 必须是 0 型或型不定式极限． 0 f  x 0 （2） 若lim还是型或型不定式极限， 且函数 f  x和 g x仍满足定理中 fx xx0 g x 0 和gx所满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即lim fx gx xx0  lim xx0 f  x f  x  lim． g x xx0 g x f  x （3）若无法判定的极限状态，或能判定它的极限振荡而不存在，则洛必达法则失 g x 效，此时，需要用其它方法计算lim fx gx xx0 ．  （4）可以把定理中的x  x0换为x  x 0 ，x  x 0 ，x  ，x  ，此时只要把定 理中的条件作相应的修改，定理仍然成立． 例例 1 1 已知函数f x lnx kx  k （kR R） ． （1）求f x在1,2上的最小值； 1 x  （2）若ln a x对x1,1恒成立，求正数a的最大值． 1 x    【解析】【解析】 （1）定义域为0,， f  x 1kx1 ．k  xx ①当k 0时， f  x 0，函数 fx在1,2为增函数，所以  fx min f 10． ②当k 0时， 由 f  x 0可得0 x  11 1  ， 由 f  x 0可得x  ， 所以f x在 0,上 kkk  1  递增，在,上递减．于是f x在1,2上的最小值为 f1 0或f2 ln2 k． k （i）当0ln2 k，即0 k ln2时，  fx min  f10． （ii）当0ln2 k，即k ln2时，  fx min  f2 ln2k． 综上所述， 当k ln2时，当k ln2时，  fx min  f10；  fx min  f2 ln2k． 1 x  1t  （2）令t  x 0,1，则ln a x对x1,1恒成立 ln   at对t0,1 1 x 1t   恒成立． 1t  法 1： （分离参数法）当t 0，不等式恒成立，于是ln   at对t0,1恒成立 1t  1t  ln  1t  对t0,1恒成立． a  t 2t1t 1t  lnln  2t1t1t21t1t   H t ln令Gt，则 G t ，令    ，则 1t21ttt2  H t 2 2t2  1t  2 2 24t2  0，所以Ht在0,1上递增，于是Ht H0 0，即 1t2 1t2 2 G t 0，所以Gt在0,1上递增． 2 21t Gt lim 2，于是0 a  2，所以正数a的最大值为2．由洛必达法则，可得lim t0t0 1 1t  法 2： （不猜想直接用最值法）构造函数Ft ln at ，则 1t 2at2 2a ． F t a  1t21t2 ①当2a 0，即a2时， F t 0，所以函数Ft在0,1上递增，所以 Ft F0 0． ②当2a 0， 即a 2时， 由 F t 0可得0 x   a 2a 2 ， 所以函数Ft在0,  aa   a 2 上递减，于是在0,上，Ft F0 0，不合题意．  a  综上所述，正数a的最大值为2． 法 3： （先