基本不等式很全面

基本不等式(很全面) 基本不等式基本不等式 【知识框架】【知识框架】 1 1、基本不等式原始形式、基本不等式原始形式 （1）若a,bR，则a2 b2 2ab a2b2 （2）若a,bR，则 ab  2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式）、基本不等式一般形式（均值不等式） 若a,b R*，则a b  2 ab 3 3、基本不等式的两个重要变形、基本不等式的两个重要变形 （1）若a,b R*，则a b  2 * ab 2 a b （2）若a,b R，则 ab    2  总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当特别说明：以上不等式中，当且仅当 a  b时取“ 时取“= =”” 4 4、求最值的条件：、求最值的条件： “一正，二定，三相等”“一正，二定，三相等” 5 5、常用结论、常用结论 1  2 (当且仅当x 1时取“=” ） x 1 （2）若x  0，则x  2 (当且仅当x  1时取“=” ） x （1）若x  0，则x （3）若ab  0，则a  b  2 (当且仅当a  b 时取“=” ） ba ab 2 a2b2 （4）若a,bR，则 ab  ()  22 （5）若a,b R*，则ab ab  11 2  ab 1a2b2 2 1 / 14 基本不等式(很全面) 特别说明：以上不等式中，当且仅当特别说明：以上不等式中，当且仅当 a  b时取“ 时取“= =”” 6 6、柯西不等式、柯西不等式 （1）若a,b,c,d R，则(a2 b2)(c2d2)  (ac bd)2 （2）若a 1,a2 ,a 3 ,b 1,b2 ,b 3 R，则有： (a 1 2a 2 2a 3 2)( 1b1 2b 2 2b 3 2)  (a 1b1 a 2b2 a 3b3 )2 （3）设a 1,a2 ,,a n与b1,b2 ,,b n 是两组实数，则有 (a 1 2 a 2 2  a n 2)(b 1 2b 2 2 b n 2) (a 1b1 a 2b2  a nbn )2 【题型归纳】【题型归纳】 题型一：利用基本不等式证明不等式题型一：利用基本不等式证明不等式 题目 1、设a,b均为正数，证明不等式: ab≥ 2 11  ab 题目 2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab  bc  ca 题目 3、已知abc 1，求证：a2 b2c2 1 3 题目 4、已知a,b,cR，且abc 1，求证：(1a)(1b)(1c) 8abc 2 / 14 基本不等式(很全面) 题目 5、已知a,b,cR，且abc 1，求证：  1  1  1  1118 a bc 题目 6、 （新课标Ⅱ卷数学（理）设 a,b,c均为正数,且abc 1,证明: 1a2b2c2 (Ⅰ)abbcca ; (Ⅱ) 1. 3bca 题型二：利用不等式求函数值域题型二：利用不等式求函数值域 题目 1 1、求下列函数的值域、求下列函数的值域 （1） y  3x2 1 2x2 （2） y  x(4 x) （3） y  x 11 (x  0) （4） y  x(x  0) xx 题型三：利用不等式求最值题型三：利用不等式求最值 （一）（一） （凑项）（凑项） 1、已知x  2，求函数 y  2x4 4 的最小值； 2x4 3 / 14 基本不等式(很全面) 变式 1：已知x  2，求函数 y  2x 4 的最小值； 2x4 变式 2：已知x  2，求函数 y  2x 4 的最大值； 2x4 变式 3：已知x  2，求函数 y  2x 4x 的最大值； 2x4 练习：1、已知 x  5 ，求函数 y  4x2 4 1的最小值； 4x5 题目 2、已知 x  5 ，求函数 y  4x2 4 1的最大值； 4x5 题型四：利用不等式求最值题型四：利用不等式求最值 （二）（二） （凑系数）（凑系数） 题目 1、当时，求 y  x(82x)的最大值； 4 / 14 基本不等式(很全面) 变式 1：当时，求 y  4x(82x)的最大值； 变式 2：设0  x ，求函数 y  4x(3 2x)的最大值。 3 2 题目 2、若0  x  2，求y  x(6 3x)的最大值； 变式变式：若0 x  4，求 y x(82x)的最大值； 题目 3、求函数 y  15 2x152x( x )的最大值； 22 变式：变式：求函数 y  311 4x3  114x( x )的最大值； 44 5 / 14 基本不等式(很全面) 题型五：巧用“题型五：巧用“1 1”的代换求最值问题”的代换求最值问题 题目 1、已知a,b  0,a2b 1，求t  11  的最小值； ab 变式变式 1 1：已知a,b  0,a2b  2，求t  11  的最小值； ab 变式变式 2 2：已知x, y  0, 28 1，求xy 的最小值； xy 变式变式 3 3：已知x, y  0，且  9，求x  y的最小值。 1 x 1 y 变式变式 4 4：已知x, y  0，且 19  4，求x y的最小值； xy 变式变式 5 5：： （1）若x, y  0且2x y 1，求 11  的最小值； xy 6 / 14 基本不等式(很全面) （2）若a,b,x, y R且a  b 1，求 x  y的最小值； xy 变式变式 6 6：：已知正项等比数列 a n 满足：a 7  a 6 2a 5 ，若存在两项a m ,a n ，使得 a man  4a 1 ，求 14  的最小值； mn 变式变式 7 7：：若正数x，y满足x＋3y＝5，则 3x＋4y的最小值是（） C．5 D．6 变式变式 8 8：：设a  0,b  0.若 4 11 ． 3是3a与3b的等比中项，则 的最小值为 （） ab A． 1 B．1 C．4 D．8 变式变式 9 9：：已知a b  0，且ab  2，则 21 的最小值为  a3bab 变式变式 a2b2 1010：：已知0  x 1，a  0，b 0，求 y  的最小值. x1 x 变式变式 1111：：求 183 (0  x )的最小值 2x32x2 变式变式 1212：：已知(0,  2 )，求函数f ()  14  sin2cos2 的最小值 7 / 14 基本不等式(很全面) 变式变式 1313：：设正