圆的方程培优-教案

全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解）全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解） 授课主题 授课类型 教学目标 ② 圆的一般方程和代入法的掌握、应用． 授课日期及时段 T T 同步课堂同步课堂 第第 1212 讲讲------圆的方程圆的方程 P P 实战演练实战演练S S 归纳总结归纳总结 ① 掌握圆的标准方程会求圆的标准方程； T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 知识点一：圆的标准方程知识点一：圆的标准方程 (x  a)2 (y b)2 r2，其中a，b为圆心，r为半径. 圆的标准方程(x  a)  (y b)  r 圆心为a，b，半径为r，它显现了圆的几何特点. 222 知识点二：点和圆的位置关系知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为(x  a)  (y b)  r，圆心为Ca，b，半径为r，则有 222 (1)若点M x 0 ，y 0 在圆上|CM | r x 0 ay 0 b r2 22 (2)若点M x 0 ，y 0 在圆外|CM | r x 0 ay 0 b r2 22 (3)若点M x 0 ，y 0 在圆内|CM | r x 0 ay 0 b r2 22 知识点三：圆的一般方程知识点三：圆的一般方程 22 当D  E 4F  0时，方程 x  y  Dx  Ey  F  0叫做圆的一般方程 . 22 D E  , 为圆心， 22  1 D2 E24F为半径. 2 要点诠释：要点诠释： D   E  D2 E24F 22 由方程x  y  Dx  Ey  F  0得x   y    224  22 1 1 全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解）全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解） (1)当D  E 4F  0时，方程只有实数解x   22 22 DEDE , y   .它表示一个点(,). 2222 (2)当D  E 4F  0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当D  E 4F  0时，可以看出方程表示以 22 1D E  , 为圆心， D2 E24F为半径的圆. 22  2 知识点四：几种特殊位置的圆的方程知识点四：几种特殊位置的圆的方程 方程形式 条件 标准方程 圆心在原点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 圆心在 y 轴上且过原点 一般方程 x2 y2 r2r  0 (x  a)2 (y b)2 a2 b2 x2 y2r2 0r  0 x2 y2 Dx  Ey  0 (xa)2 y2 r2r  0 x2(y b)2 r2r  0 (xr)2 y2 r2r  0 x2 y2 Dx  F  0 x2 y2 Ey  F  0 x2 y2 Dx  0 x2 y2 Ey  0 x2 y2 Dx  Ey  F  0 x2(yr)2 r2r  0 与 x 轴相切 222(xa) (y r)  r D E 24F  0 x2 y2 Dx  Ey  F  0 与 y 轴相切(xr)2(y b)2 r2 24F  0 知识点五：轨迹方程知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程， 实质上就是利用题设中的几何条件， 通过“坐标法”将其转化为关于 变量x, y之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定 义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关 点法） ． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 2 2 全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解）全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解） 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用(x, y)表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标； （2）列出关于x, y的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点） ； （5）作答． 典例分析 考点一：圆的标准方程考点一：圆的标准方程 例例 1 1、、求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是 3； (2)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x轴上； (3)经过点P5,1，圆心在点C8,3． 22 【解析】(1)x  y  9 (2)线段AB的中垂线方程为2x y4  0，与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为 |CB |10 ，所以圆C的方程为(x2)2 y210. (3)解法一：∵圆的半径r |CP | 22 582 132 5，圆心在点C8,3 ∴圆的方程是x 8 y 3 25 解法二：∵圆心在点C8,3，故设圆的方程为x 8 y 3 r2 22 又∵点P5,1在圆上，∴58 13 r ，∴r  25 22 22 ∴所求圆的方程是x 8 y 3 25. 例例 2 2、、求圆心在直线 2x―y―3=0 上，且过点（5，2）和（3，―2）的圆的方程． 22 2ab3 0  222 【解析】解法一：设所求圆的圆心为（a，b） ，半径为 r，由题意得(5a) (2b)  r， (3a)2 (2b)2 r2  3 3 全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解）全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解） 解方程组得 a=2，b=1，r  10． ∴所求圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=10． 解法二：因点（5，2）和（3，―2）在圆上，故圆心在这两点所连线段的垂直平分线上，可求得垂直平分 线的方程为 x+2y―4=0． 又圆心在直线 2x―y―3=0 上，故圆心为两直线的交点． 由 2x y3 0 求得两直线交点为（2，1） ， x2y4  0  由两点间距离公式可求得半径为 10． 故所求圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=10． 考点二：圆的一般方程考点二：圆的一般方程 例例 3 3、、已知直线 x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0 表示一个圆． （1）求 t 的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径； （3）求该圆半径 r 的最大值及此时圆的标准方程． 【解析】 （1）已知方程表示一个圆D2+E2―4F＞0，即 4(t+3)2+4(1―4t2)2―4(16t4+9)＞