圆的方程培优-教案

全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解）全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解） 授课主题 授课类型 教学目标 ② 圆的一般方程和代入法的掌握、应用． 授课日期及时段 T T 同步课堂同步课堂 第第 1212 讲讲------圆的方程圆的方程 P P 实战演练实战演练S S 归纳总结归纳总结 ① 掌握圆的标准方程会求圆的标准方程； T（Textbook-Based）同步课堂 体系搭建 知识点一圆的标准方程知识点一圆的标准方程 x  a2 y b2 r2，其中a，b为圆心，r为半径. 圆的标准方程x  a  y b  r 圆心为a，b，半径为r，它显现了圆的几何特点. 222 知识点二点和圆的位置关系知识点二点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为x  a  y b  r，圆心为Ca，b，半径为r，则有 222 1若点M x 0 ，y 0 在圆上|CM | r x 0 ay 0 b r2 22 2若点M x 0 ，y 0 在圆外|CM | r x 0 ay 0 b r2 22 3若点M x 0 ，y 0 在圆内|CM | r x 0 ay 0 b r2 22 知识点三圆的一般方程知识点三圆的一般方程 22 当D  E 4F  0时，方程 x  y  Dx  Ey  F  0叫做圆的一般方程 . 22 D E  , 为圆心， 22  1 D2 E24F为半径. 2 要点诠释要点诠释 D   E  D2 E24F 22 由方程x  y  Dx  Ey  F  0得x   y    224  22 1 1 全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解）全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解） 1当D  E 4F  0时，方程只有实数解x   22 22 DEDE , y   .它表示一个点,. 2222 2当D  E 4F  0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 3当D  E 4F  0时，可以看出方程表示以 22 1D E  , 为圆心， D2 E24F为半径的圆. 22  2 知识点四几种特殊位置的圆的方程知识点四几种特殊位置的圆的方程 方程形式 条件 标准方程 圆心在原点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 圆心在 y 轴上且过原点 一般方程 x2 y2 r2r  0 x  a2 y b2 a2 b2 x2 y2r2 0r  0 x2 y2 Dx  Ey  0 xa2 y2 r2r  0 x2y b2 r2r  0 xr2 y2 r2r  0 x2 y2 Dx  F  0 x2 y2 Ey  F  0 x2 y2 Dx  0 x2 y2 Ey  0 x2 y2 Dx  Ey  F  0 x2yr2 r2r  0 与 x 轴相切 222xa y r  r D E 24F  0 x2 y2 Dx  Ey  F  0 与 y 轴相切xr2y b2 r2 24F  0 知识点五轨迹方程知识点五轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程， 实质上就是利用题设中的几何条件， 通过“坐标法”将其转化为关于 变量x, y之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定 义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关 点法） ． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 2 2 全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解）全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解） 3．求轨迹方程的步骤 （1）建立适当的直角坐标系，用x, y表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标； （2）列出关于x, y的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点） ； （5）作答． 典例分析 考点一圆的标准方程考点一圆的标准方程 例例 1 1、、求满足下列条件的各圆的方程 1圆心在原点，半径是 3； 2已知圆C经过A5,1,B1,3两点，圆心在x轴上； 3经过点P5,1，圆心在点C8,3． 22 【解析】1x  y  9 2线段AB的中垂线方程为2x y4  0，与x轴的交点2,0即为圆心C的坐标，所以半径为 |CB |10 ，所以圆C的方程为x22 y210. 3解法一∵圆的半径r |CP | 22 582 132 5，圆心在点C8,3 ∴圆的方程是x 8 y 3 25 解法二∵圆心在点C8,3，故设圆的方程为x 8 y 3 r2 22 又∵点P5,1在圆上，∴58 13 r ，∴r  25 22 22 ∴所求圆的方程是x 8 y 3 25. 例例 2 2、、求圆心在直线 2xy30 上，且过点（5，2）和（3，2）的圆的方程． 22 2ab3 0  222 【解析】解法一设所求圆的圆心为（a，b） ，半径为 r，由题意得5a 2b  r， 3a2 2b2 r2  3 3 全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解）全国名校高一数学，必修二，优质学案，自学辅导，专题汇编（附详解） 解方程组得 a2，b1，r  10． ∴所求圆的方程为x22y1210． 解法二因点（5，2）和（3，2）在圆上，故圆心在这两点所连线段的垂直平分线上，可求得垂直平分 线的方程为 x2y40． 又圆心在直线 2xy30 上，故圆心为两直线的交点． 由 2x y3 0 求得两直线交点为（2，1） ， x2y4  0  由两点间距离公式可求得半径为 10． 故所求圆的方程为x22y1210． 考点二圆的一般方程考点二圆的一般方程 例例 3 3、、已知直线 x2y22t3x214t2y16t490 表示一个圆． （1）求 t 的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径； （3）求该圆半径 r 的最大值及此时圆的标准方程． 【解析】 （1）已知方程表示一个圆D2E24F＞0，即 4t32414t22416t49＞