习题课抛物线焦点弦的应用

习题课习题课抛物线焦点弦的应用抛物线焦点弦的应用 学习目标1.抛物线焦点弦的推导.2.利用抛物线的焦点弦求解弦长问题． 导语 在上节中，我们已经掌握了抛物线焦点弦的一些性质： 设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 p2 (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2； 4 (2)以弦 AB 为直径的圆与准线相切； 2p (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 (α 是直线 AB 的倾斜角，α≠0°)； sin α 112 (4)＋＝ 为定值(F 是抛物线的焦点)． |AF||BF|p p2 一、x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用 4 例 1已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线 → → C 交于 A，B 两点，若OA·OB＝－12，则抛物线 C 的方程为() A．x2＝8y C．y2＝8x 答案C p 解析设抛物线为 y2＝2px(p0)，直线 AB 为 x＝my＋ ， 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， p2 则 x1x2＝，y1y2＝－p2， 4 p2 2 3 → → 得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－p ＝－ p2＝－12， 44 得 p＝4(舍负)，即抛物线 C 的方程为 y2＝8x. 反思感悟通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果． 跟踪训练 1过抛物线 y2＝2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2＝____. x1x2 答案－4 p  解析方法一抛物线 y2＝2px(p0)的焦点坐标为 2，0， B．x2＝4y D．y2＝4x p 设直线 AB 的方程为 x＝my＋ ， 2 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立， p  x＝my＋2， 得  y2＝2px， 消去 x 得 y2－2mpy－p2＝0， 由根与系数的关系得 y1y2＝－p2. 由于点 A，B 均在抛物线上， 2   y1＝2px1， 则得 2 y2 2y ＝2px ，  22  x ＝ 2  2p， y2 1 x1＝ ， 2p y1y2y1y24p24p2 因此，＝ 2 ＝y y＝－ p2 ＝－4. x1x2y2 1 y2 1 2 · 2p 2p p2 方法二由焦点弦的性质可得 x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2， 4 故y1y2＝－4. x1x2 2p 二、|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 的应用 sin α 例 2抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135°的直线被抛物线所 截得的弦长为 8，试求抛物线的方程． p 解依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，则直线方程为 y＝－x＋. 2 设直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝， sin2135° 2p 2p ∴ ＝8，∴p＝2， 1 2 故所求的抛物线方程为 y2＝4x. 当抛物线方程设为 y2＝－2px(p0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为 y2＝±4x. 2p 反思感悟利用|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 (α 是直线 AB 的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问 sin α 题． 跟踪训练 2经过抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F，倾斜角为 30°的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 M 的横坐标为 7，那么 p＝________. 答案2 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB 的中点 M 的横坐标为 7，∴x1＋x2＝14， ∴14＋p＝ 三、 2p ，∴p＝2. sin230° 112 ＋＝ 为定值的应用 |AF||BF|p 例 3过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等 于() 9 A．4B.C．5D．6 2 答案B 解析因为|AF|＝2|BF|， 9 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝ . 2 反思感悟将求弦长问题通过焦半径与p 之间的关系，转化为焦半径问题． 跟踪训练 3如图，过抛物线 y2＝2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC 的中点，且|AF|＝4，则线段 AB 的长为() 1111323 ＋＝＋＝＝ ＝1，解得|BF|＝ ，|AF|＝3， |AF||BF|2|BF||BF|2|BF|p2 A．5 16 C. 3 答案C 1p1 解析如图，过点 A 作 AD⊥l，|AD|＝|AF|＝ |AC|＝4，|OF|＝ ＝4× ＝1，所以 p＝2， 224 B．6 D. 20 3 112 因为＋＝ ，|AF|＝4， |AF||BF|p 4 所以|BF|＝ ， 3 416 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋ ＝ . 33 四、以弦 AB 为直径的圆与准线相切的应用 例 4抛物线 y2＝2px(p0)的焦点为 F，M 为抛物线上一点．若△OFM 的外接圆与抛物线的 准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为 9π，则 p 等于() A．2B．4C．6D．8 答案B 解析∵△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵外接圆的面积为 9π， ∴外接圆的半径为 3. p 又∵圆心在 OF 的垂直平分线上，|OF|＝ ， 2 pp ∴ ＋ ＝3，∴p＝4. 24 反思感悟把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB 为直径的圆与准线相切， 进行问题的求解． 跟踪训练 4已知抛物线 x2＝2py(p0)，直线 l 过它的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点， 则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是() A．相离 C．相交 答案B 1．知识清单：抛物线焦点弦性质的应用． 2．方法归纳：转化法． B．相切 D．与 p 的取值有关 3．常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错． 51 a， ， 1． 过抛物线 C： y＝ x2的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A， B 两点， 线段 AB 的中点为 M 2 8 则|AB|等于() 8141 A.B.C．13D．9 168 答案D 解析由题意可得抛物线的标准形式为x2＝8y， 所以准线方程为 y＝－2， 5 由题意可得 A，B 的纵坐标之和为 ×2＝5， 2 所以弦长|AB|＝5＋4＝9. 2． 过抛物线 C： y2＝8x 的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A， B 两点， 若|AF|＝6， 则|BF|等于() A．9 或 6B．6 或 3C．9D．3 答案D 解析方法一设点 A 为第一象限内的点，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x10，y10， 则由题意可得 F(2,0)，|AF|＝x1＋2＝6， 2＝8x ，得 y ＝4 2， 则 x1＝4，由 y1 11 4 2 所以 kAB＝＝2 2， 4－2 直线 AB 的方程为 y＝2 2(x－2)， 将直线 AB 的方程代入 y2＝8x 化简得 x2－5x＋4＝0， 所以 x2＝1，所以|BF|