酒驾问题的数学建模

饮酒驾车的数学模型饮酒驾车的数学模型 学院：数学学院学院：数学学院 姓名：姓名： 班级：班级：15-15-数学四班数学四班 学号：学号： 【摘要】【摘要】 本文的目的在于，通过对人饮酒后体内酒精含量进行建模，然后根据所建模 型，对相关问题进行分析和处理，并予以解决。本文主要根据假设合理条件，用 常微分方程建立酒精在人体内的变化模型。以时间为变量， 分类讨论酒精在人体 内的变化。 最后， 根据国家酒驾标准， 结合所建立的模型， 给司机朋友发出忠告。 【关键词】关键词】房室系统、MATLAB、酒后驾车，常微分方程。 一一、问题重述问题重述 小王，12 点喝一瓶啤酒，18:00 被检查合格，吃晚饭喝一瓶啤酒，夜里 2 点， 开车回家。 讨论问题： （1） 如果小王凌晨 2 点驾车上路遇到酒驾检查，问他能否顺利通过? （2） 喝 3 瓶啤酒，隔多久开车会违反标准，并回答： 1）酒是在很短时间内喝的； 2）较长一段时间内喝的。（2 小时内） 3）估计体内酒精含量达到 MAX 的确切时间。 4）根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5）提出忠告。 参考数据 1.国家标准：驾驶员血液的酒精含量≥20 毫克／百毫升，T 时，中心室酒精浓度与时间关系式： c(t)= (k 1 −k 1 k x(T) 2)v0 × [e−k2(t−T)−e−k1(t−T)]+c(T)e−k2(t−T) x(T) = k1x 0 − k0 k1 e−k2T+ k0 k1 = k0 k1 (1− e−k1T) c(T)= k0 k2y0 (1 − e−k2T)+ k 2)v0 k0 2−k1 (e−k1T−e−k2T) 综上所述，当 tT： 1( )c t = (k −k k x(T) 1 { × [e−k2(t−T)−e−k1(t−T)]+c(T)e−k2(t−T) x(T)= k 0(1−e−k1T) c(T)= k k0 −k2T)+ k0 (e−k1T(1−e k2−k1 2y0 1 k （17） −e−k2T) 五、问题求解五、问题求解 问题一： 设小王第一次喝酒在短时间内完成，我们可以得到关系式： c(t) = k1D 0 (k1−k2)v0[e −k2t− e−k1t] 已求解：k1 = 2.114，k2= 0.1940，D 0 = 23328mg,v 0 = 433.33。 c(t) = 59.27295[e−0.1940t− e−2.114t] 当t6时，得c(t) = 18.2778 毫克/百毫升，未超过国家标准，所以第一次 检查时没有饮酒驾驶，如图 图三 小王第二次喝酒满足在较长时间内喝酒的条件，关系式： c(t) = A[e−k2t− e−k1t]+ A[e−k2(t−T)− e−k1(t−T)] 其中，A=59.27295,k 2 = 0.1940，k1= 2.114，T = 6。 t=14，c(t) = 20.3618毫克/百毫升，20mg/100ml,所以小王凌晨 2 点 驾车上路遇到酒驾检查，无法通过，见下图： 图四 问题二： （2）较短时间条件下，根据模型，关系式： c(t) = ce−k2t k0k1x0− k0 −k t++e 1 k2y0(k2− k1)v0 由于 t 十分小，x0= D0，k0= 0 则： c(t) = ce 又c(0) = 0 c(t) = −k2t k1D 0 −e−k1t (k2− k1)v0 k1D 0 (k2−k1)v0 （e−k2t−e−k1t） 三瓶啤酒，D0= 3 × 640 × 810× 4.5% = 69984mg, v0= 70×65%×103 1.05×100 =433.33 百毫升，k2= 0.1915，k1= 2.114。 所以：c(t) 177.81885[e0.1940te2.114t] 当c(t)  20毫克/百毫升时，可求得 t=11.3。 故此条件下，经过 11.3 小时后开车,不是饮酒驾车。 （2）当较长时间内喝酒时，体液内洒精含量与时间关系式： c(t)  cek2t k 0 k ek1t0 (k 1  k 2 )v 0 k 2v0 此时x(0)  0，k 0  D 0，c(0)  0， T c(t)  D 0 D 0(1ek2t)[ek1tek2t] k 2v0T (k 1 k 2 )v 0T 因为已知D 0  69980mg，k 1  2.114，k 2  0.1940，v0 433.33百毫升， c(t)  20毫克/百毫升，t=13.5小时，在较长时间（如二个小时）喝下三瓶啤酒 后，只有在 13.5 小时后开车，就不会违反规定。 问题三： （1） 短时间内喝酒时 根据模型可知： c(t)  当c`(t) = 0时，得：T  当t  T  k 1 D 0[ek 2t  ek1t] (K 1  K 2 )V 0 lnk1lnk2 1.23 k1 k2 lnk 1 lnk 21.23时，c(t)取得峰值 k 1  k 2 （2） 、当在较长时间内喝酒时 0  t T时，c(t)  求导得： k 0 k 0(1ek2t)[ek1tek2t] k 2v0 (k 1  k 2 )v 0 c k1k 0 c t) =（e−k2t−e−k1t） (k1− k2)v0 `( 由 K 1 大于 K 2 知，c(t)  0 中心室酒精浓度不可能达到 MAX。 t T时，c(t)  k 1 x(T) [ek2(tT)ek1(tT)] c(T)ek2(tT) (k 1  k 2 )v 0 其中x(T)  k 1 x 0  k 0k1T k 0 k 0e[1 ek2T] k 1 k 1 k 1 k 0 k ，c(T)0， k 2v0 k 1 当 T 比较大时，X(T) c(t)  k 1 x(T) [ek2(tT)ek1(tT)] c(T)ek2(tT) (k 1  k 2 )v 0 对c(t)求导得： k1x (T)k0 −k (t−T) 2 c t) =e−e−k2(t−T) (k1− k2)k2v0(k1− k2)v0 `( 可以推出： c(t)  k 0k1 k 0k1k2(tT)eek1(tT) (k 1 k 2 )v 0 (k 1 k 2 )v 0 c(t) k 0k1[ek1(tT)ek2(tT)] (k 1 k 2 )v 0 由 K 1K2 知，c(t)  0 中心室酒精浓度不可能在 tT 时达到 max。 综上所述，长时间喝酒，酒精含量达到峰值的确切时间是在喝酒结束。 所以二个小时时含量最高。 问题四: 倘若每天喝酒,每次酒量均匀,每隔喝一次;n 次后,时间 t=nT,T1.23. n 次 模型相加,即: c(nT)  Aek2T Ae2k2T. Aenk2T  A[ek2T (ek2T)  (ek2T)n ek2T(1ek2nT)  A 1ek2nT ek2T 当 n 时,上