酒驾问题的数学建模

饮酒驾车的数学模型饮酒驾车的数学模型 学院数学学院学院数学学院 姓名姓名 班级班级15-15-数学四班数学四班 学号学号 【摘要】【摘要】 本文的目的在于，通过对人饮酒后体内酒精含量进行建模，然后根据所建模 型，对相关问题进行分析和处理，并予以解决。本文主要根据假设合理条件，用 常微分方程建立酒精在人体内的变化模型。以时间为变量， 分类讨论酒精在人体 内的变化。 最后， 根据国家酒驾标准， 结合所建立的模型， 给司机朋友发出忠告。 【关键词】关键词】房室系统、MATLAB、酒后驾车，常微分方程。 一一、问题重述问题重述 小王，12 点喝一瓶啤酒，1800 被检查合格，吃晚饭喝一瓶啤酒，夜里 2 点， 开车回家。 讨论问题 （1） 如果小王凌晨 2 点驾车上路遇到酒驾检查，问他能否顺利通过 （2） 喝 3 瓶啤酒，隔多久开车会违反标准，并回答 1）酒是在很短时间内喝的； 2）较长一段时间内喝的。（2 小时内） 3）估计体内酒精含量达到 MAX 的确切时间。 4）根据你的模型论证如果天天喝酒，是否还能开车 5）提出忠告。 参考数据 1.国家标准驾驶员血液的酒精含量≥20 毫克／百毫升，T 时，中心室酒精浓度与时间关系式 ct k 1 −k 1 k xT 2v0 [e−k2t−T−e−k1t−T]cTe−k2t−T xT k1x 0 − k0 k1 e−k2T k0 k1 k0 k1 1− e−k1T cT k0 k2y0 1 − e−k2T k 2v0 k0 2−k1 e−k1T−e−k2T 综上所述，当 tT 1 c t k −k k xT 1 { [e−k2t−T−e−k1t−T]cTe−k2t−T xT k 01−e−k1T cT k k0 −k2T k0 e−k1T1−e k2−k1 2y0 1 k （17） −e−k2T 五、问题求解五、问题求解 问题一 设小王第一次喝酒在短时间内完成，我们可以得到关系式 ct k1D 0 k1−k2v0[e −k2t− e−k1t] 已求解k1 2.114，k2 0.1940，D 0 23328mg,v 0 433.33。 ct 59.27295[e−0.1940t− e−2.114t] 当t6时，得ct 18.2778 毫克/百毫升，未超过国家标准，所以第一次 检查时没有饮酒驾驶，如图 图三 小王第二次喝酒满足在较长时间内喝酒的条件，关系式 ct A[e−k2t− e−k1t] A[e−k2t−T− e−k1t−T] 其中，A59.27295,k 2 0.1940，k1 2.114，T 6。 t14，ct 20.3618毫克/百毫升，20mg/100ml,所以小王凌晨 2 点 驾车上路遇到酒驾检查，无法通过，见下图 图四 问题二 （2）较短时间条件下，根据模型，关系式 ct ce−k2t k0k1x0− k0 −k te 1 k2y0k2− k1v0 由于 t 十分小，x0 D0，k0 0 则 ct ce 又c0 0 ct −k2t k1D 0 −e−k1t k2− k1v0 k1D 0 k2−k1v0 （e−k2t−e−k1t） 三瓶啤酒，D0 3 640 810 4.5 69984mg, v0 7065103 1.05100 433.33 百毫升，k2 0.1915，k1 2.114。 所以ct 177.81885[e0.1940te2.114t] 当ct  20毫克/百毫升时，可求得 t11.3。 故此条件下，经过 11.3 小时后开车,不是饮酒驾车。 （2）当较长时间内喝酒时，体液内洒精含量与时间关系式 ct  cek2t k 0 k ek1t0 k 1  k 2 v 0 k 2v0 此时x0  0，k 0  D 0，c0  0， T ct  D 0 D 01ek2t[ek1tek2t] k 2v0T k 1 k 2 v 0T 因为已知D 0  69980mg，k 1  2.114，k 2  0.1940，v0 433.33百毫升， ct  20毫克/百毫升，t13.5小时，在较长时间（如二个小时）喝下三瓶啤酒 后，只有在 13.5 小时后开车，就不会违反规定。 问题三 （1） 短时间内喝酒时 根据模型可知 ct  当ct 0时，得T  当t  T  k 1 D 0[ek 2t  ek1t] K 1  K 2 V 0 lnk1lnk2 1.23 k1 k2 lnk 1 lnk 21.23时，ct取得峰值 k 1  k 2 （2） 、当在较长时间内喝酒时 0  t T时，ct  求导得 k 0 k 01ek2t[ek1tek2t] k 2v0 k 1  k 2 v 0 c k1k 0 c t （e−k2t−e−k1t） k1− k2v0 由 K 1 大于 K 2 知，ct  0 中心室酒精浓度不可能达到 MAX。 t T时，ct  k 1 xT [ek2tTek1tT] cTek2tT k 1  k 2 v 0 其中xT  k 1 x 0  k 0k1T k 0 k 0e[1 ek2T] k 1 k 1 k 1 k 0 k ，cT0， k 2v0 k 1 当 T 比较大时，XT ct  k 1 xT [ek2tTek1tT] cTek2tT k 1  k 2 v 0 对ct求导得 k1x Tk0 −k t−T 2 c t e−e−k2t−T k1− k2k2v0k1− k2v0 可以推出 ct  k 0k1 k 0k1k2tTeek1tT k 1 k 2 v 0 k 1 k 2 v 0 ct k 0k1[ek1tTek2tT] k 1 k 2 v 0 由 K 1K2 知，ct  0 中心室酒精浓度不可能在 tT 时达到 max。 综上所述，长时间喝酒，酒精含量达到峰值的确切时间是在喝酒结束。 所以二个小时时含量最高。 问题四 倘若每天喝酒,每次酒量均匀,每隔喝一次;n 次后,时间 tnT,T1.23. n 次 模型相加,即 cnT  Aek2T Ae2k2T. Aenk2T  A[ek2T ek2T  ek2Tn ek2T1ek2nT  A 1ek2nT ek2T 当 n 时,上